力学編

１，速度

速度とは、物体がある時間に動く距離のことです。
例えば、時速６０Ｋｍというのは、１時間に６０Ｋｍ動くということです。
小，中学校では、「距離」「時間」「速さ」の間に

ｓ＝ｖ×ｔ　　　　　ｓ：距離　　ｖ：速さ　　　ｔ：時間

という関係があることを習っていると思います。

高校では、これに「加速度」というのが加わります。
加速度とは、物体がある時間にどれだけスピードは変化したかというものです。
例えば、「加速度１０ｍ／ｓ²で落下」すると、５秒後には秒速５０ｍ／ｓになります。
加速度の単位はｍ／ｓ²というものを使います。
加速度を用いると以下の公式ができます。

速度と時間に関する公式

ｖ＝ｖo＋ａｔ

これは、速度は初速度に(加速度)×(時間)をたしたものだということです。

問題
物体を下に５ｍ／ｓで投げた。物体の加速度は１０ｍ／ｓ2として
７秒後の物体の速度を求めよ

解答
公式より
ｖ＝ｖo＋ａｔ
　＝５ ＋１０×７
　＝７５[m/s]

距離と時間に関する公式

ｓ＝ｖo ｔ＋１ａｔ2　　　ｖo：初速度　　ｓ：距離
　　　　　　２　　　　　　ｔ：時間　　　ａ：加速度

物体の位置ｓは、このように決まります。
ところで、ａ＝０にすると最初に出てきたｓ＝ｖ×ｔという公式になります。

問題
物体を下に５ｍ／ｓで投げた。物体の加速度は１０ｍ／ｓ2として
７秒後の物体の距離を求めよ

解答
ｓ＝ｖo ｔ＋１／２ ａｔ2
　＝５×７＋１／２ １０×７2
　＝３５＋２４５
　＝２８０[m]

速度と距離に関する公式

ｖ2−ｖo2＝２ａｓ
　　　　ｖ：速度　　ｖo：初速度　　ａ：加速度　　ｓ：距離

この公式はわりとよく使います。

問題
物体が１０m/sで運動している。２m/s2で減速し停止する間に
物体はどれだけ移動するか？

解答
ｖ2−ｖo2＝２ａｓ　　より
ｓ＝ｖ2−ｖo2
　　　２ａ
　＝０2−１０2
　　２×(−２)
　＝２５[m]

今のことで気をつけることは、停止＝０m/sであることと
２m/s²で減速＝−２m/s²で加速だということです。

実際の問題はこれら３つの公式を組み合わせて解きます。

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Ｗ＝Ｆ・ｓ
　＝Ｆ ｓ ｃｏｓθ

という関係があります。ただ右辺は加えた力Ｆと、
実際に物体の動いた方向ｓのベクトルの内積になります。単位はＪ(ジュール)を用います。
また、１秒間あたりにした仕事は

ｐ＝Ｗ／ｔ　　　ｔ：時間　ｐ：仕事率

で、ｐの単位はＷ(ワット)です。これは日常に用いるワットのことです。

問題
右図の用に５０kgの物体が３０°の斜面に乗っている。
１０秒間に２ｍ動いたとき、
(1)重力が物体にした仕事
(2)重力の仕事率
を求めよ

解答
(1)Ｆ・・・重力は下に５０×９．８＝４９０[N]の力を加え、
　 ｓ・・・移動した距離は２[m]
　 θ・・・Ｆとｓのなす角度は６０°なので
　Ｗ＝Ｆ ｓ ｃｏｓθ
　　＝４９０×２×１／２
　　＝４９０[J]

(2)ｐ＝Ｗ／ｔ
　　 ＝４９０／１０
　　＝４９[W]

運動エネルギー

Ｋ＝１ｍｖ2
　　２

エネルギーは質量に比例し、速度の２乗に比例します。

位置エネルギー

Ｕ＝ｍｇｈ

ここで、ｈはある基準面から、上向きを正としたときの距離です。
基準面は自由にとれるため、位置エネルギーは相対的なものになります。

バネエネルギー

バネ係数ｋのバネには、フックの法則があります。

Ｆ＝ｋｘ　　ｋ：バネ係数　ｘ：バネののび

つまりバネが物をひく力(復元力)はのびに比例します。 バネエネルギーは、

Ｗ＝１ｋｘ2
　　２

で、決まります。

エネルギー保存の法則

上のエネルギーの合計は保存されます。これをエネルギー保存の法則といいます。
但し、摩擦が存在すると保存されません。

問題
高さ１０ｍの建物から物体を落下させたとき、接地直前の速度を求めよ

解答
接地直前の速度をｖ、質量をｍとする
落下前の各エネルギーは
　運動エネルギー：１／２　×　ｍ　×　０2　＝　０
　位置エネルギー：ｍ　×　９．８　×　１０＝９８ｍ

落下後の各エネルギーは
　運動エネルギー：１／２　×　ｍ　×　ｖ2　＝　ｍｖ2／２
　位置エネルギー：ｍ　×　９．８　×　０＝０

エネルギー保存の法則より
０　＋　９８ｍ　＝　ｍｖ2／２　＋　０
ｖ2＝１９６
ｖ ＝１４[m/s]

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運動量は、次のように定義されています。

ｐ＝ｍｖ　　　　ｍ：質量　　　ｖ：物体の速度

単位はｋｇ・ｍ／ｓです。
これと似たものに「力積」という物があります。定義は次の通りです。

Ｎ＝Ｆｔ　　　　Ｆ：加えた力　ｔ：力を加えた時間

単位はＮ・ｓです。
この、「運動量」と「力積」というのは同じ物です。（定義が違うが・・・）
そして、エネルギーは正のスカラーで表せたのですが
運動量はベクトルで表します。つまり、方向というのがあります。

問題
野球で、ピッチャーが質量０．１kgのボールを４０m/sで投げました。
バッターはこれを３０m/sで打ち返しました。このとき、
　(1)バッターがボールに加えた力積を求めよ
　(2)ボールとバットが0.03秒間接したとき、ボールに加わった力を求めよ
但し、ボールが打ち返された方向を正とする。

解答
バッターがボールに加えた力積をＮとすると、
−０．１×４０　＋　Ｎ　＝　０．１　×　３０
Ｎ＝７[kg・m/s]

Ｎ＝Ｆｔ　より
７＝Ｆ×０．０３
Ｆ＝２３３[N]

衝突

速度ａで運動していたものが衝突によってｂになったとき、跳ね返り係数は

ｅ＝−ｂ／ａ

です。つまりｅとは衝突によって速度が何倍になったかということを意味します。
ｅのとりうる値は０≦ｅ≦１で、特にｅ＝０の時を完全非弾性衝突、
ｅ＝１を完全弾性衝突（単に弾性衝突ともいう）といいます。
また、物体を高さｈから跳ね返り係数ｅの床に落としたときに
跳ね上がった高さをｈ’とすると、

ｈ’＝ｅ2ｈ

という関係があります。

運動量保存の法則

ある系に対して外系から力を加えない限り、運動量は保存します。
これを運動量保存の法則といいます。

問題
質量１２ｋｇの物体Ａが速度５ｍ／ｓで運動している。
これが質量８ｋｇで静止している物体に弾性衝突をした。
衝突後のＡ，Ｂの速度を求めよ

解答
衝突後のＡ，Ｂの速度をＶＡ,ＶＢとすると
運動量保存の法則より
１２×５　＋　８×０　＝１２ＶＡ　＋　８ＶＢ　　−−−�@

また、弾性衝突をしたので
ＶＡ−ＶＢ＝−１（５−０）　　　　　　　　　　　−−−�A

これらを連立させると
ＶＡ＝１[m/s]
ＶＢ＝６[m/s]

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モーメントＮは

　Ｎ　＝　ｒ × Ｆ

｜Ｎ｜＝｜ｒ｜｜Ｆ｜ｓｉｎθ　　θ：ｒとＦのなす角

で定義されています。本来、モーメントはベクトルで位置ベクトルｒと
力Ｆの外積で定義されます。
複数のモーメントがある場合、時計回りを正、反対を負として加算します。
結果が０なら釣り合っているので動きません。
もし正なら、時計回りに動きます。

問題
右図のシンソーはどちらに動くか？

解答
シンソーの支点を中心のモーメントを考える。
左には、反時計回りにモーメントが加わっているので符号は負になる。
ｒとＦのなす角は９０°なので、
Ｎ1＝−１×（１５×９．８）×１＝−１４７
一方右はＮ2＝＋１×（１０×９．８）×３＝=２９４
Ｎ＝Ｎ1＋Ｎ2＝−１４７＋２９４＝１４７

正なので、時計回りに回転する→右に倒れる。

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半径ｒの円運動をしている物体を考えます。

ｖ＝ｒω　　　　　ω：角速度　ｖ：速度
ａ＝ｒω2＝ｖ2　　　 ａ：加速度　ｒ：半径
　　　　　 ｒ
Ｆ＝ｍｒω2＝ｍｖ2　　 　　Ｆ：遠心力　ｍ：質量
　　　　　　　ｒ

ここで登場したωは１秒間に何ラジアン回転するかというものです。
５秒で１周するときは、ω＝２π／５になります。

万有引力

質量Ｍとｍの物体が中心間の距離ｒのとき、引力は次のように求まります。

Ｆ＝ＧＭｍ
　　　ｒ2

問題
第一宇宙速度を求めよ
但し、地球の質量をＭ、万有引力定数をＧ、地球の半径をＲとする。

解答
人工衛星が地球の周りを回転するとき下向きに重力、上向きに遠心力を受ける。
重力は人工衛星の質量をｍとすると
Ｆ1＝ＧＭｍ
　　　Ｒ2

一方遠心力は
Ｆ2＝ｍｖ2
　　　Ｒ

Ｆ1＝Ｆ2なので、
ｖ2＝ＧＭ
　　　Ｒ

ｖ＝／ＧＭ＼1/2
　　＼ Ｒ ／

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