座標

今まで高校では、物体の位置を表すときに（ｘ，ｙ，ｚ）座標を使ってきました。

しかし、ほかにも表し方があります。例えば、自分の家を伝えるときには、
「南大沢駅の北西に５００ｍ」や「○○駅の西に３５０ｍ北に３５０ｍ」
「北緯３５°４０′東経１４０°１３′」という表現があります。
物理の世界でも同じです。
物理では、以下の３つの座標を用います。

●デカルト座標

これは、いままでよく用いてきた（ｘ，ｙ，ｚ）座標です。
これを、「デカルト座標」といいます。

座標の取り方は図の通りで、手前がｘ、右がｙ、上がｚになります。
つまり、左手の「中指」「人差し指」「親指」の順番です。

●円柱座標

これはデカルト座標のｚ軸はそのままで、ｘをｙをρとθで表します。
ρはｚ軸からの距離、θはｙ軸とρ軸となす角を意味します。
この座標は、物体の位置が変化するとρ軸とθ軸の向きが変化します。

●極座標

物理でよく用いられるのがこの座標です。（ｒ，φ，θ）を用います。
ｒは基準点からの距離、φはｙ軸となす角、θはｚ軸となす角です。

座標変換

●デカルト⇔円柱

デカルト座標（ｘ，ｙ，ｚ）と円柱座標（ρ，θ，ｚ）の変換は

ρ＝（ｘ2＋ｙ2）1/2
θ＝ａｔｎ（ｙ／ｘ）
ｚ＝ｚ

第１式は、ρがｘ，ｙで構成される距離で表せることを意味します。
第２式は、ｔａｎθ＝ｙ／ｘで表せるので、ａｒｃｔａｎでθが求まります。
第３式は、ｚの座標変換はないので変わらないことを意味します。

その反対の変換は、

ｘ＝ρ ｃｏｓθ
ｙ＝ρ ｓｉｎθ
ｚ＝ｚ

と簡単に表せます。

●デカルト⇔極座標

デカルト座標（ｘ，ｙ，ｚ）と極座標（ρ，θ，φ）の変換は

ｘ＝ｒ ｓｉｎθ ｃｏｓφ
ｙ＝ｒ ｓｉｎθ ｓｉｎφ
ｚ＝ｒ ｃｏｓθ

この変換は非常に重要なのでよく覚えてください。
(以前、ｙについての変換式で、sin φのところがcosφになっていました。)

速度

ここでは、極座標の速度がどのようになるかを考えます。
極座標は、物体の位置が変化するとともに軸の向きが変わってしまいます。
そのため、速度は次のように表せます。

ここで、θ'　は、θの時間微分、ｄθ／ｄｔを表します。
ｖ_θはθ'の前にｒがかけられているので注意してください。

デカルト座標では、ｘの速度はｘ'　ｙの速度はｙ'　と簡単になるのですが
極座標では、少し複雑になります。

加速度

ここでは、極座標の加速度がどのようになるかを考えます。
加速度も速度のように

ここで、θ''　は、θの時間２階微分、ｄ²θ／ｄｔ²を表します。
デカルト座標では、ｘの加速度はｘ''　ｙの加速度はｙ''　と簡単になるのですが
極座標では、複雑になります。

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テイラー展開

世の中にある微分可能な関数はすべてテイラー展開をすることによって次のようにできます。

これと似たものにマクロニー展開というものがあります。これは関数を
x=xoで近似したのではなく、x=0 で展開したときの近似式なのです。（今回のように）

これを書き直すと次のような重要公式ができます。

ｅix　＝　ｃｏｓｘ　＋　ｉ ｓｉｎｘ

運動の法則

●第１法則

第１法則は、慣性の法則といいます。
これは、物体に外部から力を与えない限り、物体は直線上の運動の状態を
そのまま続けるというものです。

●第２法則

Ｆ＝ｍａ

この式を「運動方程式」と呼んできました。
物理理の世界では、次のようにも書きます。

Ｆ＝ｍｒ''

これは、加速度を位置座標ｒの時間２階微分であるといっています。

●第３法則

これは、「作用・反作用の法則」ともいわれています。
物体ＡがＢに力Ｆを及ぼしているとすると、
ＢはＡに力−Ｆを及ぼしているというものです。

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微少

円や球体についての物理的な計算をするとき、微少面積（体積）に
分割し、それに物理的な計算をして、再び積分して全体の
物理量を求めることがある。

円の場合、微少面積は長方形に近似します。（上図参照）
ｒ方向の長さをｄｒ,θ方向の長さはｒｄθになります。
面積はｒｄｒｄθになります。

これをθ方向に０から２πまで積分し、さらにｒ方向に積分すれば
面積が求まります。微少面積での物理量はｒｄｒｄθの段階で計算します。

球体の場合は、今のものに高さｒsinθｄψが加わって、
微少体積がｒ²sinθｄｒｄθｄψになります。

惑星の運動

太陽系で、太陽の周りを回っている惑星の軌道について考えます。
惑星に働く力は中心力（ｒ軸方向の力）のみです。
運動方程式は次の通りです。

Ｆｒ＝ｍ（ｒ''−ｒθ'2）
Ｆθ＝ｍ（２ｒ'θ'＋ｒθ''）

●ケプラーの第１法則

先ほどの第１式を変形すると次のようになります。

ｍ（ｒ''−ｒθ'2）＝−ＧＭｍ
　　　　　　　　　　　　ｒ2

ｒ＝　　　　λ　　　　　
　　１＋εｃｏｓ(θ＋α)

λ＝　ｌ　　　　　　ｌ：角運動量
　　ＧＭｍ2　　　　 Ｇ：万有引力定数
　　　　　　　　　　Ｍ：太陽の質量
ε＝　Ｃｌ2　　　　 ｍ：惑星の質量
　　ＧＭｍ　　　　　Ｃ,α：定数（積分定数）

このεによって、運動が変わります。

｜ε｜＜１　　楕円軌道
｜ε｜＝１　　円軌道
｜ε｜＞１　　双曲線軌道

●ケプラーの第２法則

先ほどの第２式を変形すると次のようになります。

このことからｒ²θ'が時間に対して一定であることがわかります。
これが、ケプラーの第２法則の「面積弧一定の法則」です。

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保存力

保存力は、力が場所によってのみ決まっているものを意味します。
だから、摩擦があったりすると保存力とはいえません。
保存力の例としては、重力、磁力、電気力などがあります。
（いずれもＦがｒの２乗に逆比例する）
さらに保存力を積分するとエネルギーになります。つまり

Ｕ＝−∫Ｆ･ｄｒ

という関係があります。負号に気をつけてください。これから、

Ｆ＝−∂Ｕ　　　Ｕ：位置エネルギー
　　　∂ｒ

という式ができます。これは、重力，電荷などで利用します。

ポテンシャル

ポテンシャルとは位置エネルギーのことです。
先ほど、「保存力」をやりましたが、そのときの位置エネルギーＵが
ポテンシャルといわれます。

運動量

Ｔ＝１ｍｘ'2　　　　Ｔ：運動エネルギー
　　２

これをｘ′で微分すると

∂Ｔ　＝ｍｘ'＝ｐ　　　 ｐ：運動量
∂ｘ'　　　　　　　　　ｘ'：速度

これはよく使う公式です。運動量は実はこのように定義されています。

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