| １，剛体 | 角運動量Ｌ 慣性モーメントＩ Ｌ,Ｉ,Ｎ に関する諸公式 回転体の運動方程式 物体の変形 Ｅ,σ,ｋ,ｎ |
| ２，流体 | ベルヌーイの原理 層流・乱流 ニュートン流体 |
| ３，波動 | 振動 波動方程式 フェルマーの原理 |
剛体を考える上で次の式を知る必要があります
Ｎ ＝ ｒ × Ｆ Ｌ ＝ ｒ × ｐ Ｉ ＝ ｍｒ2
| Ｎ：力のモーメント Ｆ：ベクトル ｒ：位置ベクトル |
Ｌ：角運動量 ｐ：運動量 Ｉ：慣性モーメント ｍ：物体の質量 |
力のﾓｰﾒﾝﾄは、何かものを回すときの強さのようなものです。
例えば、ねじ回しの場合、中心からの距離が遠い（ｒが大きい）ほど
力（Ｆ）が小さくなります。
角運動量は、何かものが回転させるときのエネルギーのようなものです。
あなたが回転椅子に座っているならば、手を広でた状態で回転してみましょう。
このとき角運動量は保存されるので、手を縮める（ｒを小さくする）と、
回転が速くなる（ｐが大きくなるのでｖが大きくなる）でしょう！
角運動量は、回転方向に力を受けない（中心力のみ）とき保存されます
回転ﾓｰﾒﾝﾄは、何かものを回転させるときの、回転のしやすさということになります。
先ほどの椅子の例では、手を広げた状態では回転しにくい（Ｉが大きい）し、
縮めた状態では回転しやすい（Ｉが小さい）というわけです。
ＮとＬの間には次の関係があります。
ｄＬ＝Ｎ ｄｔ
これは、角運動量は力のﾓｰﾒﾝﾄを時間で積分したもので、
回転のエネルギーに似ています。（実際は違うが・・・）
次にＩとＬの間には次の関係があります。
Ｌ＝ｒ×ｐ＝Ｉω＝Ｉθ′
これは、角運動量は慣性ﾓｰﾒﾝﾄと回転速度の積であることを意味します。
次にＩとＮの間には次の関係があります。
Ｉθ″＝Ｆ×ｒ＝Ｎ
これは、回転体の運動方程式です。詳しくは後ほどに解説します。
つぎに回転体の持つエネルギーの公式を解説します。
Ｋ＝１Ｉω2 ２
まるで運動エネルギーの公式にそっくりです。
平面板の公式があります。平面板の重心での回転モーメントをＩｇとします、
そこからｈだけ離れたところでの慣性ﾓｰﾒﾝﾄをあらわす式が
Ｉ＝Ｉｇ＋Ｍｈ2
です。 また、回転が組合わさっている場合場合
Ｌ＝Ｌｇ＋Ｌ′
Ｌｇは回転体の重心の角運動量で、Ｌ′は重心から見た角運動量になる。
問題
円盤を面に垂直な軸で回転させたときの回転モーメントをＩｚとする。
円盤の直径を軸として回転させたときの慣性ﾓｰﾒﾝﾄを求めよ
解答
Ｉｚ＝Ｉｘ＋Ｉｙ かつ、対象性からＩｘ＝Ｉｙなので
Ｉｘ＝Ｉｙ＝１／２ Ｉｚ
回転モーメントを求めるときは円盤の場合、面積分をする必要がある
Ｉθ″＝Ｎ
これが回転体の運動方程式です。
Ｉがまるで質量のようで、θがｘ、ＮがＦに非常に似ています。
ｍｘ″＝Ｆや先ほどの回転エネルギーの式に非常に似てます。
今の式を少し変形させて
Ｉθ″＝Ｆ×ｒ
は割と使うことがあります。
ここでは、弾性体に関係する公式をまとめておきます。
Ｆ＝Ｅ⊿ｌ Ｅ：ヤング率 Ｓ：面積 ｌ：長さ Ｓ ｌ
左辺のいわゆる圧力に相当します。右辺の⊿ｌ／ｌは単位長さでどれだけ縮んだかを
意味します。Ｅがヤング率で物体によって決まっています。
σ＝－⊿ｌ’／ｌ’ ｌ ：横（縦）の長さ ⊿ｌ ／ｌ ｌ’：縦（横）の長さ
これは、縦（横）一方を縮めると、横（縦）がどれだけのびるか
ということをあらわしたものです。
σはポアッソン比で物体によって決まっています。
⊿ｌ／ｌについては前述のとおりです。
⊿ｐ＝－ｋ⊿Ｖ ｐ：圧力 ｋ：体積弾性率 Ｖ：体積 Ｖ
これは、単位体積が⊿Ｖだけ変化すると、
圧力が－ｋ⊿Ｖだけ変化しているのがわかる。
マイナスがあるのに注意してください。（∴体積は縮むので）
Ｆ ＝ｎθ ｎ：剛性率 θ：ずれた角度 Ｆ：力 ｌ2 ｌ：立体の高さ,長さ
これは、右図のような直方体に力Ｆを加えたとき
どれだけ曲がるかという式です。（右図参照）
物体がθだけ変形しているとき、物体に蓄えられているエネルギーを
求める式があります。
Ｕ＝１ｎθ2Ｖ＝∫Ｎｄθ ｎ：剛性率 θ：ずれた角度 ２ Ｖ：立体の体積 Ｎ：力のモーメント
エネルギーは、ｎとθを使っても表せ、力のモーメントでも表せます。
１ρｖ2 ＋ ρｇｚ ＋ Ｐ＝一定 ρ：密度 ｖ：流体の速度 ２ ｇ：重力加速度 Ｐ：圧力
これは、エネルギー保存の式と考え方は同じです。
左辺第１項は、エネルギー保存の式での運動エネルギーに相当し、
第２項は、位置エネルギーです。第３項は圧力です。
これ全体が、圧力に関する式と考えてください。
Ｒ＝ρａＵ ρ：流体の密度 ａ：管の半径 η Ｕ：平均流速 η：粘性（物体により一定）
管の中に流体を流すときの係数が上の式でＲ＜１０００で層流（流れがスムーズ）
で、Ｒ＞１０００で乱流（非常にながれにくい）になります。
乱流だとベルヌーイの法則か使えませんし、見かけの粘性が増したように見えます。
問題 速度Ｖで走っている船の底からくみ上げた水を 船の上から吹き出すときの速度をもとめよ 解答 ベルヌーイの法則より １ρＶ2 ＋ ０ ＋ ｐ ＝１ρｖ2 ＋ ρｇｈ ＋ ｐ ２ ２ 但し、圧力はどちらも同じでｐとします。 ｖについて解くと ｖ＝（Ｖ2－２ｇｈ）1/2
ニュートン流体は、流体を考える上で用いる仮想の流体です。
速度の違う流体がこすれるとき、お互いに及ぼす力は、こすれる面に垂直な方向の
速度勾配に比例するというのがニュートン流体です。
振動ではｋという変数を用います。ｋは波数といって２πの長さにいくつの波
があるかを表したもので、式は
ｋ＝２π ｋ：波数 λ：波長 λ
と、なります。
他に、波動方程式というものがあり、高度な波の状態を考える上で よく使います。
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ｕ：変位 Ｃ：波の速さ ｋ：波数 ω：角速度 ρ：密度 Ｔ：張力 |
ξ：変位 ｖ：波の速度
この特別解は、
平面波 ξ＝Ａｅｘｐ｛i(k･r±ωt)｝ 球面波 ξ＝Ａ ｅｘｐ｛i(k･r±ωt)｝ ｒ
この式から、次のようなシミュレーションができます。
波の干渉のアニメーション(21KB)
「光がＡ地点からＢ地点までいくときに、もっとも短時間で到達できる道を通る」
というのがフェルマーの定理です。
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