| １，歴史 | エーテル アインシュタインの相対性理論 |
| ２，ローレンツ | ローレンツ変換１ ローレンツ因子 ローレンツ変換２ 逆変換 |
| ３，相対的効果 | 双子のパラドックス ドップラー効果 エネルギーに関する式 ローレンツ収縮 |
| ４，４次元空間 | ミンコフスキー空間 ローレンツ変換３ 固有時 |
| ５，相対的力学 | ４元速度 ４元力 運動方程式 |
相対性理論は、今までの３次元的な考え方に時間軸を加えた４次元的な理論です。
これは、ニュートン力学では絶対的であった時間というものが実は
相対的なものであるということと、光速は常にｃであるということが基本です。
２０世紀はじめ、音は空気、地震は地面を媒体として振動が伝わっていくということは
説明できたのですが、光や電波はどのように伝わっていくのかわかりませんでした。
当時は力学が絶対であったため、エーテルというものが考え出されてしまいました。
しかし、実験や理論を考えていくうちにおかしなことになりました。
例えば、地球などの惑星はエーテルによって公転運動が衰えてしまい太陽に
落ち込んでしまうのではないかといったことなど矛盾か生じてしまいました。
そこで、エーテルは運動に影響することもなく、検出できないということになってしまいます。
現実に検出できないものを考えても仕方がないので、
現在はエーテルは存在しないということになりました。
後にアインシュタインの登場によってそれらの現象はアインシュタインの理論で
説明できるようになります。特殊相対論の世界はほとんど彼一人によって骨格ができました。
アインシュタインは次のことを唱えました。
１，すべての慣性系は、すべての物理法則に対して等価
２，光速は、すべての慣性系で光源によらず一定
１は、力学的な物理法則だけではなく、
電磁気にまで拡張した点が画期的だといえます。
２は、例えば、速度ｖで走っている乗り物から発した光の速さは
ｃ−ｖではなくｃであるというものです。
もし、エーテルによる影響で同一の光が経路ＳとＴで光の波の方程式
ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｔ＋θ） ω：角速度 θ：初期位相
が一致しないと、おのおのの光を干渉させたときに変化が生じるはずですが
マイケルソン・モーレーの実験では変化は観測されませんでした。
そこで、すべての系では光速はすべてｃであるということになりました。
上へ z z'
l l
l l →
l l
l lK'系 →
K系 l----------x l------------x' →
/ / →
/ /
/ / →
y y'
ある慣性系Ｋの座標を（ｘ，ｙ，ｚ）、別の慣性系Ｋ’の座標を（ｘ’，ｙ’，ｚ’）とします。
慣性系Ｋ’のｘ'軸，ｙ'軸，ｚ'軸の向きはＫのｘ軸，ｙ軸，ｚ軸に並行でｘ軸の方向に
ｖの速度で運動しています。
Ｋ’とＫの原点が一致した瞬間に原点で光が発光した場合光面は
ｘ 2＋ｙ 2＋ｚ 2−(ｃｔ )2＝０ ｘ'2＋ｙ'2＋ｚ'2−(ｃｔ')2＝０ ｘ'＝Ａ(ｘ−ｖｔ) ｙ'＝ｙ ｚ'＝ｚ ｔ'＝Ｂｔ＋ｃ
これについて解くと
ｘ'＝γ(ｘ−ｖｔ) ｙ'＝ｙ ｚ'＝ｚ ｔ'＝γ(ｔ−ｖｘ／ｃ2)
というローレンツ変換の式がでてきます。ただし、γは、
γ＝ １ ｃ：光速 ／１− ｖ2＼1/2 ｖ：相手座標の速度 ＼ ｃ2／ γ：ローレンツ因子 ＝ １ β：β＝ｖ／ｃ (１− β2)1/2
という関係があります。このγをローレンツ因子といいます。
γ＝ １ ｃ：光速 ／１− ｖ2＼1/2 ｖ：相手座標の速度 ＼ ｃ2／ γ：ローレンツ因子
先ほども登場しましたが、これがローレンツ因子です。
日常では、γ＝１なのですが、ｖが光速に近くなるとγ＞１となって
日常ではあり得ない現象が起きます。
また、ｖ＞ｃになってしまう（ｖが光速より早い）と、
γ＜０になりおかしなことになります。
ローレンツ因子をつかって次の相対量がわかります。
（大文字は、変換後 小文字は変換前）
ｍ＝γｍo γ：ローレンツ因子 ｐ＝γｍoｕ ｕ：速度 Ｘ＝γ（ｘ−ｖｔ） ｘ，Ｘ：座標 ｘ＝γ（Ｘ＋ｖＴ） ｔ，Ｔ：時間 Ｔ＝γ／ｔ− ｖｘ＼ ｖ：相手座標の速度 ＼ ｃ2／ ｃ：光速 ｔ＝γ／Ｔ＋ ｖＸ＼ ＼ ｃ2／
最初の式から、ｖ→ｃになると重くなることがわかります。
２番目の式から、ｖ→ｃになると長さが短くなることがわかります。
４番目の式から、ｖ→ｃになると時間が短くなることがわかります。
（いずれも、相手座標について 相対的なもの）
これより、運動量やエネルギーのｍを置き換える必要があります。
先ほど、座標位置に関するローレンツ変換を説明したのですが
それをその慣性系の時間で微分することによって速度が求まります。
具体的には、
ｕx’＝ｄｘ’＝γｄ（ｘ(t)−ｖｔ）＝γｄ(ｘ(t)−ｖｔ) ｄｔ ｄｔ’ ｄｔ’ ｄｔ ｄｔ’ ＝γ(ｕx−ｖ)ｄｔ ｄｔ’ ｔ＝γ（ｔ’＋ｖｘ’／ｃ2） なので ｄｔ ＝γ／１＋ｖ ｄｘ’＼＝γ／１＋ｖ ｕx’＼ ｄｔ’ ＼ ｃ2ｄｔ’／ ＼ ｃ2 ／ ｕx’＝γ2（ｕx−ｖ）（１＋ｕx’ｖ／ｃ2） ｕx’について解くと ｕx’＝ ｕx−ｖ １−ｖｕx／ｃ2 今度はｕyについて考える ｕy’＝ｄｙ’＝ｄｙ’ｄｔ ＝ｕyγ／１＋ｖ ｕx’＼ ｄｔ’ ｄｔ ｄｔ’ ＼ ｃ2 ／ ＝ ｕy／γ １−ｖｕx／ｃ2 ｕzについてはｕyと同様
以上をまとめると
ｕx′＝ ｕx−ｖ １−ｖｕx／ｃ2 ｕy′＝ ｕy／γ １−ｖｕx／ｃ2 ｕz′＝ ｕz／γ １−ｖｕx／ｃ2
問題 ｓ系から見てｘ方向に速度ｃ／２で運動しているＳ′系がある。 また、Ｓ′系から見て、ｘ方向に速度ｃ／２で運動しているＰがある。 Ｓ系から見たＰの速度を求めよ。 誤解答例 ｃ／２＋ｃ／２＝ｃ 解答 先ほどの公式を用いると、 ｕx′＝ c/2＋c/2 ＝ ｃ ＝４ｃ １＋c/2･c/2 １＋1/4 ５ c2
今まで、Ｓ系からＳ’系の変換をあらわす式を中心にやってきたのですが
もし、反対の立場で考える場合を紹介します。
ｘ’＝γ（ｘ −ｖｔ） ｙ’＝ｙ ｚ’＝ｚ
これをＳ’の方を中心に考えると
ｘ ＝γ（ｘ’＋ｖｔ’） ｙ＝ｙ’ ｚ＝ｚ’
時間の変換式は
ｔ’＝γ／ｔ− ｖｘ＼ ＼ ｃ2／
でした、これを反対に考えると
ｔ＝γ／ｔ’＋ ｖｘ’＼ ＼ ｃ2 ／
先ほどの式は
ｕx’＝ ｕx−ｖ １−ｖｕx／ｃ2
でした。これを変形すると
ｕx＝ ｕx'＋ｖ １＋ｖｕx'／ｃ2
時間のローレンツ変換では、自分の系の時間と比べて、
運動している系の時間は遅れるという法則があります。
今、地球上に双子の兄と弟がいました。兄は、地球から高速に近い速度で
遠ざかってＵターンして戻りました。弟は、地球上にいたままです。
このとき弟から兄を見ると、兄は光速に近い運動をしているので
時間がゆっくり流れるので兄が弟より若くなる。
一方兄から弟を見ると、弟は地球とともに自分から見て光速に近い運動をしているので
時間がゆっくり流れるので弟が兄よりもっと若くなる。
このようにして矛盾が生じる。
実際には兄が弟より若くなります。
これは、兄の方は慣性系ではなく、加速度運動をしているからです。
物理法則は、すべての慣性系において等価なのであって加速運動を
している系には成り立ちません。
光のドップラー効果の式は次の通りです。
ν’＝ν／１−ｖ／ｃ＼1/2 ＼１＋ｖ／ｃ／
特に ｖ＜＜ｃのときは
ν’＝ν（１−ｖ／ｃ）
量子力学のところでもでてきましたが、次の公式は重要です。
Ｅ2＝ｍ2ｃ4 ＋ ｐ2ｃ2
ｐ：運動量 ｍ：質量 Ｅ：エネルギー
もし静止している物体の場合、ｐ＝０なので、有名な公式
Ｅ＝ｍｃ2
という公式がでてきます。ニュートン力学の運動エネルギーというものは
運動している物体のエネルギーから静止エネルギーを引いたものです。
Ｔ＝Ｅ−ｍｃ2 ＝γｍｃ2−ｍｃ2 ＝（γ−１）ｍｃ2 ここで、γについてｖをｖ＝０の周りでテーラー展開すると γ＝１＋ ０ ｖ＋ １ｖ2＋・・・・・ １！ ２！ｃ2 （γ−１）ｍｃ2＝１ｍｖ2 ２
問題 静止したπ中間子がμ中間子をニュートリノに崩壊するとき μ中間子の運動エネルギーと運動量を求めよ ただし、ニュートリノの質量は０で、 μ中間子の静止エネルギーＭｃ2は１０６ＭｅＶ π中間子の静止エネルギーｍｃ2は１４０ＭｅＶです。 解答 １，まず運動量保存則を考えます。静止しているものが２つに分かれるので Ｐμ＋Ｐν＝０ ｐμ：μ粒子の運動量 Ｐν：ニュートリノの運動量 ２，エネルギー保存則で、 ｍ：μ中間子の質量 Ｍ：π中間子の質量 とすると、 Ｍｃ2＝Ｅμ＋Ｅν ３，これらを考慮すると、 Ｅμ2−Ｅν2＝（ｐμｃ）2−（ｐνｃ）2＋ｍ2ｃ4 ＝(Ｅμ＋Ｅν)(Ｅμ−Ｅν) ∵Ｅμ−Ｅν＝ｍ2ｃ4＝ｍ2ｃ2 Ｍｃ2 Ｍ Ｅμ＝１／ｍ2ｃ2＋Ｍｃ2＼＝１／１０６2＋１４０＼ ２＼ Ｍ ／ ２＼１４０ ／ ＝１１０．１ＭｅＶ ｐμ＝（Ｅμ2−ｍ2ｃ4）1/2＝２９．８［ＭｅＶ／ｃ］ ｃ
慣性座標系Ｓで棒の両端の座標をＸ1,Ｘ2とすると
棒の長さはｌ＝Ｘ2−Ｘ1になります。
一方別の座標系Ｓ’では、棒の長さはｌ’＝Ｘ2’−Ｘ1’になっていて
ｌ’＝ｌ／γ
という関係があります。つまり、棒が収縮して見えるのです。
３次元空間に時間軸を加えたものを４次元時空といいます。
ある時間にある場所で何か物理的な現象が起きたとき、
４次元時空間内のある一点で表せます。
その点を世界点といいます。また、その粒子が運動することによって
４次元時空にかかれた軌跡を世界線といいます。
２つの世界点の距離が
ｓ2＝ｘ2＋ｙ2＋ｚ2−ｃ2ｔ2
で与えられる空間をミンコフスキー空間といいます。
さらに、ｓ2の値により次のように呼びます。
ｓ2＝０ 光的 ヌル的 ｓ2＞０ 時間的 特に ｔ＞０ 未来圏 ｔ＜０ 過去圏 ｓ2＜０ 空間的
これらは、光円錐によって説明されることがよくあります。
以前説明したローレンツ変換は、実は時間と空間の回転であるということになります。
そして、次のように行列であらわすことができます。
／ γ ０ ０ γｉβ＼ ／ ｘ ＼ ／ ｘ’ ＼ ｜ ０ １ ０ ０ ｜｜ ｙ ｜＝｜ ｙ’ ｜ ｜ ０ ０ １ ０ ｜｜ ｚ ｜ ｜ ｚ’ ｜ ＼−γｉβ ０ ０ γ ／ ＼ｉｃｔ／ ＼ｉｃｔ'／ ただし、β＝ｖ／ｃ
このとき、ローレンツ変換の行列式は１になっています。
固有時とは、運動している物体上の系で計った時間のことです。通常、τを用います。
ｄτ＝ｄｔ／γ
４元速度ωiは、次のように定義されています。
速度ベクトルｕのx,y,zの成分をｕx,ｕy,ｕzとすると ω1＝γ ｕx ω2＝γ ｕy ω3＝γ ｕz ω4＝γ ｉｃ
４元力ｆiは、次のように定義されています。
３次元的力ベクトルＦのx,y,zの成分をＦx,Ｆy,Ｆzとすると ｆ1＝γ Ｆx ｆ2＝γ Ｆy ｆ3＝γ Ｆz ｆ4＝γ ｉＦ・ｕ ｃ
３次元の力学上での運動方程式は、
ｍｘ"＝Ｆ
でした。これを少し変形させると４次元でも使えます。
ｍoｄωi＝ｆi ωi：４元速度 ｄτ ｆi：４元力
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