結晶

分子の配置にはいろいろありますが、次の４つは有名です。

名称	ｓｃ	ｂｃｃ	ｆｃｃ	ｈｃｐ
図
格子点数	１	２	４	４
ｎ，ｎ	６	８	１２	５
２ｎｄ　ｎ，ｎ	１２	６	６	６
一辺	２ｒ			−
基本体積	８ｒ3			？
充填率	５２％	６８％	７４％	？
例	NaCl,CO2	Fe,Ni	Cu,Au	?

※ｎ,ｎとは、最近接格子点数のこと（最も近い分子の数）

※fccの原子の色が違っていますが、見やすくするためです。

結合１

ここでは、どのようにして原子同士が結合しているのかを考えます。
簡単のため、２つの水素原子が結合して、水素分子になっている場合を考えます。

水素分子を近づけていくとポテンシャルが下がります。（安定する）
これは、２つの原子間に電子があり、クーロン力によって結合します。
ところで、このときには電子同士が反平行、つまりスピンがお互いに反対になっている必要があります。
これは、パウリの排他原理というものです。
パウリの排他原理とは、以下のことです。

３つの量子数ｌ，ｍ，ｎで決まる１つの軌道に入りうる電子の数は２個である。
この２個というのは、スピンの２つの状態に２個という意味である。

このため、電子同士が反平行になっている必要があります。
もし、平行になっていると、電子同士がお互いをさけてしまい２原子間に
電子が存在しにくくなります。すると、原子同士が引き合わないので
結合できません。

結合２

結合には、以下の５種類があります。実際には、これらが組み合わさります。

●金属結合

金属原子の自由電子が自由に金属内を動き回ります。
そのために結合するというものです。

という不確定性原理があります。
電子が金属内を自由に動き回れるということは、Δｘが大きいので
Δｐが小さくなり、安定します。

●イオン結合

塩化ナトリウム（食塩）などの結合です。
これらの分子には極性があるのでこちらの＋と
あちらの−が引き合うということで結合します。

●共有結合

電子が、複数の原子に共有されることによって安定します。
先ほどの金属結合と同じで、Δｘが大きい（金属ほどではないが）ので安定します。
ダイヤモンド、酸素、水素の結合がこれです。

●水素結合

先ほどのように原子同士の結合は以上の３つのどれかになっています。
それと違い、水素結合は分子同士の結合です。
水は、極性があり、図のように＋と−ができます。
そして、分子同士で引き合うので安定するというものです。

●分子性結合

分子には質量があるので、重力が働くというものです。
あまりにも質量が小さいのですが、接近しているため
分子レベルではわりと大きな力になります。

電子の分布

原子核の周りには電子の軌道があります。
軌道の名称は内側から、１ｓ、２ｓ、２ｐ、・・・になっています。
ｓ軌道には２個、ｐ軌道には６個、ｄ軌道には１０個、ｆ軌道には１４個まで入れます。

Ｆｅなどは「遷移元素」といわれ、内側の殻が電子で満たされなくても
次の軌道に電子が入ります。

また、どの軌道も電子が２つで一組になっていてお互いに電子のスピンが
逆になっています。（パウリの排他律）
原子が単独で存在するときはこのような電子配置をとりますが、結晶では違ってきます。
例えばＣ（炭素）の場合、

このように電子の配置が変わり、「混成軌道」になります。
この例では、ｓ軌道に１個、ｐ軌道に３個の電子があるのでｓｐ³といいます。
他にもｓｐ²、ｓｐ軌道があります。

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振動モード

格子同士はバネのようなものでつながっていると考えることによって
熱の伝導や比熱などが説明できます。

振動は、３次元的に考えると、縦波と横波があります。
物理では、縦波をＬ、横波をＴとしています。
また２種類の原子からなる結晶では、
振動する時に２原子全体が振動する音響モードと
２原子間で振動する光学モードがあります。
物理では、音響モードをＡ、光学モードをＯとかきます。
光学モードの振動の様子は右図の通りです。

格子振動

格子間の間の距離をａとします。このとき、波数ｑは
−π／ａ　＜　ｑ　＜　π／ａ　の範囲にあります。
下のグラフは、波数ｑとそのエネルギーの関係です。

Einstein比熱

Einsteinの比熱の式というのがあります。

θ：Einsteinの特性温度 Ｔ：温度[K] Ｒ：気体定数

この式を解くと以下のようになります。

これから、低温では比熱は温度に比例して０に近づきますが
高温では、ほぼ一定で３Ｒに近づきます。

フォノン

波は、量子的に考えると連続的なエネルギー分布をしていなく
とびとびの値を持ちます。このときの値は

これは、光子（フォトン）に似ています。
フォノンの運動エネルギーは

で与えられます。

Debye比熱

Einsteinの比熱の式は、低温部で実験値と違っていました。
これは、振動を余りにも簡単に考えたためです。
式は複雑になったのですがより実験値に近づいたのはDebyeの比熱の式です。

逆格子ベクトル

位置ベクトルをＲ、逆格子ベクトルをＧとすると

exp(iＧ・Ｒ)＝１

Ｇ・Ｒ＝２πｍ　　　ｍ：整数

であるようなＧを逆格子ベクトルといいます。
位置ベクトルＲで面を表したとき、Ｇは面に垂直なベクトルになります。
長さは、λ＝ｄ（面間隔）のある波の波数（ｑ）です。

Ｇ＝u1ｂ１＋u2ｂ２＋u3ｂ３

ｂ１，ｂ２，ｂ３：互いに直交する

としたとき、u1,u2,u3はミラーの面指数に対応します。
ミラーの面指数は、（０，０，１）だと、法線がＺ軸方向の面であるということになります。

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Fermi気体

金属の構造は、原子核が整然と並んでいて、自由電子が自由に金属内を飛び回っています。
これで不確定性原理より、自由電子の位置の大きさが大きいため、
運動量が小さくなりエネルギーが小さくなります。

自由電子同士が気体のようにお互いに相互作用がないものとして考え、
Fermi気体と名付けました。

波数ｋは、一辺がＬの立方体で考えると

ｋi＝２πｌi　　　　ｌi：量子数　０，±１，±２・・・
　　　　Ｌ

１つの量子状態はｋ空間で

(２π)3　　Ｖ：立体の体積
　Ｖ

になります。 ｋ空間でもｋは最大値ＫFまでしかとれないので、半径ｋFの球の中に
先ほどの量子状態が詰まっていくといったイメージです。
また、ＫFから、エネルギーのＥFがもとまって

このＴFというのはFermi温度といいます。
計算値では数万度になりますが、金属にさわってもやけどすることはありません。
これは、低いエネルギーは満杯になっているため、熱エネルギーを外部に
放出してエネルギーを低くすることができないためです。

Fermi分布

もし、Ｔ→０の極限ではＥ＞ＥFでは
ｆ(Ｅ)＝０、Ｅ＜ＥFでは、ｆ(Ｅ)＝１
になります。Ｔが大きくなると、この条件が
ぼやけてきます。右図では、Ｔが０に近いとき
階段関数に近くなっていますが
Ｔを大きくするとだんだんなめらかに
なっていきます。つまり、絶対０度では
ＥF以内に電子のエネルギーがぴったり収まって
いるのですがＴを大きくすると、ＥFよりも
大きなエネルギーを持つことができます。
その分、ＥFより小さい部分では空席ができます。

これより電子比熱が求まって、

ｎ：原子の電子価

電気伝導

電流は、導体内の電場によって加速されます。
しかし、加速すると原子や格子欠陥の部分と衝突して散乱されます。
これによって、電子は等速度運動をします。これは空中を落下する雨に似ています。
雨は重力によって加速されるのですが空気抵抗によって減速され、両者が釣り合うところで
平衡状態（等速度運動）になります。だから雨に当たってもけがをすることはありません。

電気伝導度σは以下のようにして定義されています。

σ＝ｊ　　　ｊ：電流密度
　　Ｅ　　　Ｅ：導体内の電場

　＝ｎｅτ　ｎ：自由電子の密度　　ｍ：電子の質量
　　　ｍ　　τ：平均衝突時間

　＝ρ-1　　　　ρ：抵抗率

電流密度とは１�uを垂直に流れる電流のことです。
τは、ある原子に衝突してから次の原子に衝突するまでの平均時間です。
電気伝導度は大きければ、電気を通しやすく（抵抗が小さい）ρは

Ｒ＝ρｌ
　　　Ｓ

で、でてきたもので、大きければ電気を通しににくいです。

プラズマ振動

金属では、原子が自由電子の海に浮いてると考えることもできます。
電子の海は波があります。（波は電子の密度の変化で、それによって電場ができます。）
これは、格子振動に似ています。格子振動の波はフォノンといいましたが
今回の場合はプラズモンといって

hωp　　　ωp：角速度

単位のエネルギーを持ちます。

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分極

誘電体に電界をかけると分極という現象が起きます。
金属をちがって、電子は自由に移動できないので誘電体内部には電界が存在します。

分極は、大きく分けて３種類あります。

●電子分極

電子分極とは、電場によって電子の軌道が元の軌道からずれます。 それによって、＋の原子核と−の電子に偏りができて分極が起きます。 この双極子モーメントを

ｍ＝αＥ　　　　　α：分極率　　ｍ：双極子モーメント　　Ｅ：電場

とおけます。電気分極をベクトルＰで表すと

Ｐ＝Ｎｍ　　　　　Ｎ：分子の数

これは、双極子ｍがＮ個あるのでＮ倍にしただけです。 誘電率εとの関係は

ε＝１＋４πＰ　　　Ｐ：分極
　　　　　Ｅ　　　　Ｅ：電場
　　　　　　　　　　ε：誘電率
　＝１＋４πＮα　　α：分極率

αは物質ごとに決まっていて

このαですが２原子になると、分子に対する電場の向きによってαが変わってきます。
分子に水平な電場がかかったときのαをα(//)、垂直なときをα(⊥)とすると

通常、分子の向きはそれぞれまちまちなので

α＝α(//)　＋　２α(⊥)
　　　３　　　　　３

で決まります。

●イオン分極

イオン結晶で結びついているものは電場をかけることによって分極します。
ただし、イオン分極は電子分極と比べて１／１０程度しかありません。

●配向分極

ＨＣｌのようなものは電場をかけていなくても、Ｈの電子がＣｌに引き寄せられます。
従って、電子内部に電場に関係なくモーメントができます。
このような分子を「極性分子」といいます。

反対にＣＯ₂は、分極の作用が分子内で打ち消しあっているので
「無極性分子」といいます。

配向分極のモーメントをμであらわすと、平均値＜μ＞と
これから分極Ｐと誘電率εが求まって

Ｔ：温度 Ｅ：エネルギー

以上のように３つの分極があります。
そのうち、「電子分極」と「イオン分極」を「誘起双極子モーメント」
「配向分極」を「永久双極子モーメント」といいます。

Lorentzの式

これは、誘電体の電場をＦで表したものです。

Ｆ＝Ｆ1＋Ｆ2＋Ｆ3

からＦを求めることができます。
Ｆ1は誘電体外部の電場、Ｆ2は誘電体表面の電荷、Ｆ3は誘電体内部の電荷です。
例えば、電場の中に分極Ｐの双極子があった場合Ｆ1＝Ｅ、Ｆ2＝４πＰ／３、Ｆ3＝０なので、

Ｆ＝Ｅ＋４πＰ
　　　　　３

になります。εは誘電体がない場合と比べて大きくなります。

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