物理には決定論的なことと、統計的なものとの２つがあります。
統計的なものというのは、物理現象を確率的なものとして解く方法です。

熱統計力学では、あることが起きる確率(または期待値)というのは
分布関数で与えられます。
ここで、今まで学習してきた分布関数をまとめてみました。

２項分布

１回の試行で、任意の事象が起きる確率がｐだとします。
ここでｑを任意の事象が起きない確率とすると

ｑ＝１−ｐ

になります。Ｎ回の試行で任意の事象がｎ回起こる場合の数は

Ｂ(n;N,p)＝NＣn　ｐn ｑN-n

で与えられます。このとき、平均はｎｐ、分散はｎｐｑになります。

ポアッソン分布

ポアッソン分布は２項分布をもっと簡単にしたもので

Ｎ≫１　，　ｐ≪１

において成り立ちます。
たとえば放射線崩壊は、放射線原子は非常に多く(Ｎ≫１に対応)
１つの原子に着目した場合１秒で崩壊する確率はほとんど０です。(ｐ≪１に対応)

このとき２項分布を近似すると

Ｐ(n;μ)＝μ exp(-μ)
　　　　　　　ｎ！

ただし、　μ＝Ｎｐ

このとき、平均、分散、ともにμです。

正規分布

正規分布は別名ガウス分布といわれています。平均μ、分散σの正規分布は

Ｂｏｓｅ−Ｆｅｒｍｉ分布

これは、量子力学的な効果を考えた統計分布です。
Ｆｅｒｍｉ分布関数は次のようになります。

Ｂｏｓｅ分布関数はＦｅｒｍｉ分布関数に非常によく似ています。

詳細については次の章で説明します。

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熱・統計力学１では古典的な系について扱ってきました。
そのため、粒子同士の相互作用はなく、量子力学的な効果は考えませんでした。
しかし、低温においては粒子(特に電子)は量子的なふるまいをします。

そこで、熱・統計力学２では量子力学的な効果がある系について考えます。

Fermi分布関数

先ほど登場したフェルミ分布関数は次の通りです。

これは、粒子の存在する確立のようなものです。

たとえば、T＝０においてはβ→∞となります。 このとき、ε＞μならば、分母は発散し、ｆ＝０になります。
逆にε＜μならば、expの指数部分は−∞になるので expは０になります。その結果、ｆ＝１／１＝１となります。

つまり、Ｔ＝０においてはε＞μではｆ＝０、ε＜μではｆ＝１ という階段関数になります。(右図の青線) このときの電子は可能な限りエネルギーの低い状態にいます。

ここから温度を徐々に上げていくとだんだん緩やかになっていきます。

Fermiエネルギー

上記のμを特にFermiエネルギーといい、Ｅ_Fとかきます。
このＥ_Fから次のようなものが求まります。

Ｋ_FをFermi波数、Ｖ_FをFermi速度
Ｔ_FをFermi温度(縮退温度)といいます。

Fermi波数

いまの物理量の中でFermi波数は重要です。
波数ｋはT＝０においては半径ｋ_Fの球内にあります。
(この球面を「Fermi面」といいます。)

ひとつの波は(２π)³の体積を持つと考えます。
また、電子は２つの電子状態があるので因数の２をつます。

Ｖは物体の体積、ρは数密度です。
これからＫ_Fが求められます。

問題
１molのアルミの質量は27.0g、密度は2.69g/cm3です。
このときのFermi波数を求めよ。

解答
　体積Ｖは、27.0/2.69=10.0cm3=1.00×10-5m3

１つのアルミ原子には３つの電子が存在するので
数密度ρは、ρ＝Ｎ＝3×6.02×1023＝1.81×1029[m-3]
　　　　　　　　Ｖ　 1.00×10-5

ｋF＝(３π2ρ)＝1.75×1010 [m-1]

また、
ｖT＝2.03×106 [m/s]
ＴT＝1.35×105 [K]
ＥT＝1.87×10-18 [J]＝11.6 [eV]

このようにFermi温度はかなり高温なので、常温では金属内の電子は
Fermi気体のように振舞います。このようにFermi温度と比べて
十分に低温な場合はFermi統計が利いてきます。

状態密度

このようにして状態密度Ｎ(e)を定義します。(粒子数Nとは関係ありません。)
左辺は、ｋ〜ｋ＋dkにおいての可能な１粒子状態の数で、
右辺は、ｅ〜ｅ＋deでの状態数を表します。
この状態密度はエネルギーｅの平方根に比例します。

電子比熱

金属の低温での比熱の振る舞いを観測すると次のようになります。

Ｃv＝γＴ＋ＡＴ3

右辺第1項はＴに比例しています。これは量子力学的な効果が
現れたもので、「電子比熱」といいます。

第2項はＴ³に比例しています。これは格子振動によるものです。

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物質内では、有限の温度が与えられているため格子振動というものがおきます。
これをフォノン(音子)という一種の粒子として間がる方法は
物性物理学１で紹介しました。
このフォノンは、Bose粒子のような振る舞いをします。

Bose粒子とは、1つの粒子状態にいくつもの粒子が入れるような粒子のことです。
(Fermi粒子は２つまでです。)
Bose粒子の例として、ヘリウム原子核、フォトン、フォノンなどがあります。

Bose分布関数

先ほど登場したBose分布関数は次の通りです。



このとき、化学的ポテンシャルμは０か負である必要があります。
(μ＞０だと、ε＜μのとき、ｆ＜０になってしまう。)

状態数

フォノンについて、波数をｑで表します。(先ほどのkと区別します。)
さらに、物質内を伝わる縦波の速度をｓ_l、横波をｓ_tとします。
ｑ〜ｑ＋ｄｑ内にある調和振動子の数は次のように計算できます。

このg(ω)はω〜ω＋ｄωにある調和振動子の数を表します。
(状態密度N(e)と違うので注意してください。)
g(ω)はωの２乗に比例します。
しかし、物質は連続体ではなく、原子でできているためωにも上限があります。
それをω_Dとするとｇ(ω)関数は、０〜ω_Dまでがω²に比例して
ω_D以上では０になります。
このような格子振動に対する模型をデバイ模型といいます。
ω_Dを与えるｑ_Dは次のようにしてもとまります。

デバイ温度

であらわされたΘをデバイ温度といいます。
デバイ温度は大体数百[K]のオーダーです。
これからエネルギーＵが次のように近似できます。



なお、C_Vは次のようにしても求まります。

ただし、Ｒ＝ＮiｋB

このｆ_Dをデバイ関数といいます。
これは、ｙ→０でｆ_D→１になり、古典統計力学に対応します。

Bose凝縮

絶対０度のとき、Bose粒子はｋの１粒子状態にいくらでも入ることができるので
ｋ＝０の状態にすべての粒子を収容すればいいことになります。
このように、１粒子状態に巨視的な数のBose粒子が凝縮する現象を
Bose凝縮といい、凝縮している粒子を凝縮体といいます。

状態密度

(6)のことを「リーマンのζ関数」といいます。
α＝０は低温の状態で実現します。

転移温度

上の(５)式の右辺第2項とαの関係は右図のようになります。
Bose凝縮が起きるときは、ｎ₀＞０、α＝０なので

このＴ_Ｃが「転移温度」というものです。Ｔ＜Ｔ_Ｃだと、Bose凝縮が起きます。
Bose凝縮を起こした粒子の数は、Ｔ＝Ｔ_Ｃで０、Ｔ＝０でＮとなります。
この転移温度Ｔ_Ｃの前後の物質の性質は不連続になります。
(つまり、性質が変わってしまいます。)

問題
1molの液体ヘリウムは27.6cm3の体積をしめます。
このとき、液体ヘリウムの転移温度を求めよ

解答
He原子の質量は
ｍ＝　　４　　　＝　6.64×10-27 [kg]
　　6.02×1023

ζ(3/2)＝2.612

ρ＝Ｎ＝6.02×1023＝2.18×1028 [m-3]
　　Ｖ　27.6×10-6
これらを先ほどのＴcを求める式に代入すると
Ｔc＝3.14[K]

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