人工衛星、ボイジャー１号，２号、パイオニア、最近ではカッシーニなど
惑星探査においてたびたび「スィングバイ」という言葉が登場しました。
スィングバイとは、惑星の重力を使って衛星を加速する方法です。

swing.lzh(140KB)

スィングバイのレポートがあります。文章はWord98形式になっています。

太陽系の惑星の運動を考えるとき、中心に太陽を固定し
その周りを惑星が回っていると考えます。
座標は極座標表示にして、原点を太陽にします。

こう考えると、惑星に働く力は太陽による重力のみとなります。
（この力を中心力といいます。
このような考え方は電磁気、原子にも応用できます。）
すると惑星の運動方程式は、ｒ軸方向とθ軸方向に分離できます。
しかも、θ軸方向には力はありません。

これらをふまえて惑星の運動方程式を作ります。

Ｆr　＝　ｍＡr　　　　　−−−−−（１）
Ｆθ ＝　ｍＡθ　　　　　−−−−−（２）

ここで、Ｆrはｒ方向の力、Ａrはｒ方向の加速度と考えます。
極座標では、ｒ，θ方向の速度、加速度は次のようになります。

Ｖr　＝　ｄｒ
　　　　 ｄｔ
Ｖθ ＝　ｒ ｄθ
　　　　　　ｄｔ　

Ａr　＝　ｄ2ｒ −ｒ ｄ2θ
　　　　 ｄｔ2　　　ｄｔ2
Ａθ ＝　２ ｄｒ ｄθ　＋　ｒ ｄ2θ　＝　１　ｄ (ｒ2θ')
　　　　　  ｄｔ ｄｔ　　　　 ｄｔ2　　　ｒ ｄｔ

※ｒ'はｒの一階時間微分　ｒ"はｒの二階時間微分を表しています。

また、力は、ｒ方向の重力のみなので

Ｆr　＝　−ＧＭｍ
　　　　　　ｒ2
Ｆθ ＝　０

これを、（１），（２）に代入すると

ｍ(ｒ" − ｒθ'2)　＝　−ＧＭｍ　　　　　−−−−−（３）
　　　　　　　　　　　　　ｒ2
ｍ  ｄ (ｒ2θ')　　＝０　　　　　　　　　−−−−−（４）
ｒ ｄｔ

これを簡単にすると次のようになります。

ｒ" − ｒθ'2 ＋ ＧＭ　＝　０ 　　　　　−−−−−（５）
　　　　　　　　　ｒ2

ｄ(ｒ2θ')　＝　０　　　　　　　　　　　−−−−−（６）
ｄｔ

これが惑星の運動方程式です。
(これは、電荷、古典的な原子論でも用いることができます。)

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ケプラーの第１法則

「惑星は太陽を１つの焦点とする楕円軌道を描く」

というものがケプラーの第１法則です。では、実際に導いてみましょう。

この(2.4)式が惑星の方程式です。
εの値によって次のような軌道になります。

０＜ε＜１　・・・・楕円
ε＝　　　　・・・・放物線
ε＞１　　　・・・・双曲線

ケプラーの第２法則

「惑星と太陽を結ぶ線分が一定時間に描く扇形の面積は常に一定である」

というものがケプラーの第２法則です。これは、簡単に証明できます。
前章の（６）式をご覧ください。時間微分したものが０ということは、

ｒ2θ'　＝　一定

ということです。実は、これが単位時間あたりに描く扇形の面積になっています。
このように簡単に証明できます。

ケプラーの第３法則

「惑星の公転周期の２乗と、長半径の３乗の比はすべての惑星で共通である」

というものがケプラーの第３法則です。これも導いてみます。

これより、周期Ｔの２乗と長径の３乗の比は惑星によらず一定になります。

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ここでは、具体的な例として、地球から出発したロケットが
天王星に向かう場合を考えます。

スィングバイなし

まず、スィングバイをしないで天王星に直接向かう場合を考えます。
衛星は地球を近日点、天王星を遠日点とする楕円軌道を描きます。
近日点での太陽からの距離は１ＡＵ、遠日点では19.2AUです。
これから、下の式を使ってε＝０．９，λ＝１．０がもとまります。

さらに、長径と短径が「ケプラーの第３法則」で使った式から
ａ＝１０．１ＡＵ、ｂ＝４．４ＡＵともとまります。
さらにケプラーの第３法則から、周期が３２年なので
地球→天王星までは１６年かかります。
また地球を出発するときに必要な速度は、４１ｋｍ／ｓです。
ただし、地球は元々太陽も周りを３０ｋｍ／ｓで公転しているので
地球の公転方向に１１ｋｍ／ｓだけ加速すればいいことになります。

スィングバイあり

では、木星でスィングバイを行ってから天王星に向かう場合を考えてみます。
この場合のスィングバイは３段階あります。

●地球から木星まで

地球から木星までは楕円軌道になります。
この楕円軌道は先程の天王星まで行くための楕円軌道と同一ものもにします。
エネルギー保存則より木星到達時の速度が１６ｋｍ／ｓと求まります。また、

からθ＝１３５度が求まります。また、所要時間は角運動量Ｌから
所要時間がθで積分する事で求まり、１．２５年と求まります。

●木星でのスィングバイ

ここでは、太陽だけではなく、木星による影響も大きく関係します。
そこで、太陽を基準とした座標系と、木星を中心とした座標系を導入します。

また、木星自体の速度をＶJとします。運動量については次のガリレイ変換を満たします。

ｐi'＝ｐi−ｍＶJ
ｐf'＝ｐf−ｍＶJ

運動量の変化量は

Δｐ＝ｐf−ｐi
    ＝ｐf'−ｐi'
　　＝Δｐ'

これから各座標系で等しいことがわかります。これに対してエネルギーは

このように、座標系によってエネルギーの変化量が変わります。
ところで、ΔＴ'は木星を固定した場合の運動エネルギーの変化量ですが、
接近前の速度と接近後の速度は、木星の質量が衛星と比べて遙かに大きいので
変化しないと考えられます。このためΔＴ'＝０になります。
スィングバイによって、ΔＴ＝Ｖ_J･Δｐだけエネルギーを得するわけです。

このときの軌道は、双曲線になります。

次に、速度について考えてみます。

ガリレイ変換から次の式ができます。

ｕi＝ｖi−ＶJ
ｕf＝ｖf−ＶJ

また、ｕiとｕjの大きさは等しいので

|ｕi|＝|ｕf|＝u

とおけます。ｖi＝１６km/s，ＶJ＝１３km/sがわかっているので
ｕ＝１４．７km/s　がもとまります。

さて、スィングバイによってロケットが最大のエネルギーをもためには
ＶJとｖfが平行なときであることは上の式から自明です。
では、幾何学的に解いてみます。

	ｖiが太陽座標での接近前の速度、ｖfが接近後の速度です。 これから、ｖf＞ｖiがわかります。 また、ｕfとｕiの大きさが同一であることもわかります。
	木星を固定した系で見ると左のようになっています。 太陽を固定した系では、ロケットは θ度だけ曲げられていることがわかります。

βは計算でき、β＝１０９度がわかります。速度については

ｖf＝ｕf＋ＶJ
　　＝１３＋１４．７＝２７．７km/s

ということがわかります。これで、木星でのスィングバイによって
１６km/sから２７．７km/sに加速されたことがわかりました。

●木星から天王星まで

木星から天王星までの軌道は、

Ｅ＝１ｍｖf2　−　ＧＭｍ
　　２　　　　　　　ｒJ

　　＝３．８×１０8−１．７×１０8[J]＞０

なので、双曲線になります。では、この双曲線の式を求めてみましょう。

これに天王星の軌道ｒ＝１９．２[AU]を代入することで θ＝８６．７度が求まります。
また、角運動量の式から 所要時間がθで積分する事で求まり、３．４年とわかります。

スィングバイの効果

以上の結果から、地球から出発するときの初速度は同じであるにもかかわらず
スィングバイを利用しなかった場合は１６年かかったものが
スィングバイを木星で行うことで１．３＋３．４＝４．７年ですむことになります。
このことからスィングバイの効果は絶大であることがわかります。

●木星の落下

人工衛星がエネルギーを得たということは、木星がエネルギーを失ったということになります。
仮に探査衛星の質量を１００ｋｇとすると、エネルギー保存則より

ΔＥ＝１ｍ(Vf−Vi)　　＝１００×(27.72−162)／２
　　　２

　　＝２．５５×１０4[J]

つまりこれだけのエネルギーの授受があったことになります。

ｄＥ＝ＧＭｍ　ｄｒ
　　　 ２ｒ2

からｄｒが１．２２×１０^-19[m]ということがわかり
ほとんど木星は落下しないことがわかります。

また、木星の公転速度は１．０３×１０^-27[m/s]だけ速くなります。
(運動エネルギーは大きくなりますが、それ以上に位置エネルギーが減少します。)

●逆スィングバイ

今までは、スィングバイを用いて加速することを
考えていましたが探査を終えたロケットが
地球に帰還することもあります。
そのときは、今の曲線の反対方向にロケットを進めれば
いいような気がしますが惑星は常に同じ方向に動いているので
そうはいきません。

減速するには惑星との相対速度が小さくなるように、なるべく
軌道の接線方向から近づけばいいわけです。

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