| １，連続関数 | 連続性 積分の諸定理 Ｃａｕｃｈｙ |
| ２，１変数関数 | 無限小・無限大 単調増加・減少 不定積分 Ｌｅｉｂｎｉｚ 積分諸定理 ロピタルの定理 テイラー展開 |
| ３，多変数関数 | テイラー展開 ヤコビー変換 ヘッセの公式 陰関数 Lagrangeの未定乗数法 |
数列ａnが収束するということは次のように定義します。
∀ε＞０ ∃Ｎ＞０ ｎ＞Ｎ→｜ａn－α｜＜ε
つまり任意のεによってあるＮが決まり、Ｎより大きいｎでａnと α（極限値）の差はε以下である。
問題 ａn＝∑(j=1→n)(１／２)j が２に収束することを示せ 解答 ａn＝２－(１／２)n （等比数列なので） εを任意の実数とすると｜ａn－２｜＝｜(１／２)n｜＜ε ｎ＞－ｌｏｇ2ε よってＮ＞－ｌｏｇ2εで、ｎ＞Ｎのようにとれば｜(１／２)n｜＜ε なので２に収束する
f(x)がｘ＝ａで連続であることを次のように定義します。
∀ε＞０ ∃δ＞０ ｜ｘ－ａ｜＜δ→｜f(x)-f(a)｜＜ε
先ほどの定義でａを任意の点（ａ∈Ｍ）で｜ｘ－ａ｜＜δなら、Ｍ上で一様連続となる。
f(x)が区間 [a,b] で連続でf(a)＝α f(b)＝βなら、
α＜γ＜β（または逆向き）のγをf(c)＝γで定義できるとき
ａ＜ｃ＜ｂ（または逆向き）となるｃが存在する
有界な閉区間で連続関数は最大値と最小値を持つ
Ｃａｕｃｈｙ列（基本列）は次のように定義されています。
ａnにおいて ∀ε＞０ ∃Ｎ＞０ ∀ｐ，∀ｑ＞Ｎ について ｜ａp－ａq｜＜ε
このようなＣａｕｃｈｙ列は収束します。
f(x)においてlim(x→a)f(x)が存在するための必要十分条件は ∀ε＞０ ∃δ＞０ ０＜｜Ａ－ａ｜＜δ ０＜｜Ｂ－ａ｜＜δ ｜f(A)-f(B)｜＜ε
lim(x→a)ｕ＝０のときにｕをx→aのときの無限小といいます。
lim(x→a)ｖ／ｕ＝０のとき、ｖはｕより早く０になるので
ｖをｕに対する行為の無限小といいます。記号を使うと
ｖ＝ο(u)
また、lim(x→a)ｖ／ｕが存在すればｖはｕと同位の無限小で
ｖ＝Ο(u)
で表します。この記号はLandauの記号といいます。
数列ａnがあり、
ａ1＜ａ2＜ａ3＜・・・ のときは狭義の単調増加といいます。
ａ1≦ａ2≦ａ3≦・・・ のときは広義の単調増加といいます。
ほかにも広義の単調減少,狭義の単調減少
これは、G(x)を微分するとg(x)とおくとG(x)をg(x)の原始関数（不定積分） といいます。
∫f(x)＝F(x)とする。 ∫f(x)g(x)dx＝F(x)g(x)－∫F(x)g′(x)dx
B(p,q)＝∫01ｘp-1（１－ｘ）q-1dx
Г(s)＝∫0∞ｅ-xｘs-1dx Г(s+1)＝ｓГ(s)
関数ｆ，ｇがｍ回微分可能なとき、
(ｆ，ｇ)(m)＝∑(r=0→m)ｍＣｒ ｆ(m-r) ｇ(r)
これは２項定理に似ている。
連続した関数ｆ（ｘ）があり、
ｆ（ａ）＝ｆ（ｂ）ならば∃ｆ′（ｃ）＝０ （ａ＜ｃ＜ｂ）
つまり、ｘがａとｂでｆ（ｘ）が同じ値を持つ場合、そのあいだに 平らなところがある。
※∀ｘは、「すべてのｘ」,「任意のｘ」という意味で、
∃ｘは「こうなるｘもある」,「特定のｘだけ」という意味。
これは、ローレの定理を少しだけ応用し、傾けただけです。
ｆ（∃ｃ）＝ｆ（ｂ）－ｆ（ａ） （ａ＜ｃ＜ｂ） ｂ － ａ
つまり「ｆ（ｘ）がＣ１級の時、「座標（ａ，ｆ（ａ））と（ｂ，ｆ（ｂ））を
直線で結んだときこれと同じ傾きがあるよ」ということです。
ようするに平均値の定理をｆ（ｘ）とｇ（ｘ）に使うとき、 いっぺんに計算しようとしたものです。
ｆ（ｂ）－ｆ（ａ） ＝ ｆ′ （ａ＜∃ｃ＜ｂ） ｇ（ｂ）－ｇ（ａ） ｇ′
f(a) ＝ g(a) ＝ ０で lim(x→a)ｆ′(x) ＝b が存在すれば ｇ′(x) lim(x→a)ｆ(x) ＝b が存在する ｇ(x)
これは、f(a)=g(a)=（無限大）でも成立する。
問題 ｌｉｍ ｌｏｇ（ｃｏｓｘ） を求めよ ｘ→０ ｘ 解答 ｘ＝０でｌｏｇ（ｃｏｓｘ）＝０ , ｘ＝０なので ｌｉｍ ｌｏｇ（ｃｏｓｘ）＝－ｓｉｎｘ＝－ｔａｎｘ＝０ ｘ→０ ｘ ｃｏｓｘ よってロピタルの定理より ｌｉｍ ｌｏｇ（ｃｏｓｘ）＝０ ｘ→０ ｘ
例えばＣ１級という関数があったら、その関数は最低１回まで微分できる
ということを表します。Ｃ∞級は無限に微分が可能であることを表します。
Ｃ２級の関数を微分するとき最初にｘで微分してからｙで微分するのと、
最初にｙで微分してからｘで微分するのは同じになります。式にすると、
∂ ∂ｆ ＝ ∂ ∂ｆ ∂ｙ ∂ｘ ∂ｘ ∂ｙ
Ｃm級の関数はすべて次のように近似できます。
f(x)はx=aの近傍において
ｆ（ｘ）＝ｆ(a)＋ｆ′(a)(x-a)＋ ・・・・ ｆ(a)(0)(x-a)n １！ ｎ！
これをテイラー展開といいます。
特に、ａ＝０のときをMaclaurin展開といい、
ｆ（ｘ）＝ｆ(0)＋ｆ′(0)＋ｆ″(0)＋ ・・・・ ｆ(n)(0) １！ ２！ ｎ！
問題 f(x)＝ｅx をTaylor展開せよ 解答 f(0)＝１ ｆ′(0)＝１ ｆ(n)(0)＝１ よって f(x)=１＋ｘ＋・・・ｘ(n)・・・ 1! n! =∑(k=0→∞)ｘk k!
ｆ（ａ，ｂ）＝∑(k=0→∞) １ ／ａ∂ ＋ｂ∂ ＼k f(0,0) ｋ！＼ ∂ｘ ∂ｙ／
問題 f(x,y)=sin(x+y) を原点のまわりで展開せよ 解答 f(0,0)＝０ f′(0,0)＝ｘ＋ｙ f″(0,0)＝０ f(n)(0,0)＝(ｘ＋ｙ)2n+1 f(x,y)＝sin(x+y)＝∑(k=0→∞)(－１)n(ｘ＋ｙ)2n+1 (２ｎ＋１)！
(u,v)座標→(x,y)座標に変換するとき x=x(u,v) y=y(u,v) という変換なので
Ｊ＝∂(x,y)＝｜∂x ∂x｜ ∂(u,v) ｜∂u ∂v｜ ｜∂Y ∂Y｜ ｜∂u ∂v｜ ∬f(x,y)dxdy = ∬f(x(u,v),y(u,v)｜J｜dudv
Ｊを「ヤコビアン」, 行列式を「ヤコビ行列式」といいます。
最後の式のように(x,y)座標上の面積分を
(u,v)座標上の面積分に置き換えられました。
高等学校では増減表を書いて極大極小を求めたが、これが３次元に拡大されると
増減表は使えない。空間上で極大・極小を求めるためには次の式を使う。
１，∂ｆ(x,y) ＝ ∂ｆ(x,y) ＝ ０ ∂ ｘ ∂ ｙ ２，Ａ＝∂ ∂ｆ Ｂ＝∂ ∂ｆ ∂ｘ ∂ｘ ∂ｙ ∂ｘ Ｃ＝∂ ∂ｆ ∂ｙ ∂ｙ Ｈ＝ＡＣ－Ｂ2 とおいて ・Ｈ＞０，Ａ＞０→f(x,y)で極小値 ・Ｈ＞０，Ａ＜０→f(x,y)で極大値 ・Ｈ＜０ →f(x,y)は極値ではない ・Ｈ＝０ →これだけではわからない
問題 ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ2＋ｘｙ＋ｙ2－４ｘ－２ｙ＋５ の極大値，極小値を求めよ 解答 ｆx＝２ｘ＋ｙ－４＝０ ｆy＝ｘ＋２ｙ－２＝０ これよりｘ＝２ ｙ＝０ ｆxx＝２ ｆxy＝ｆyx＝１ ｆyy＝２ Ｈ＝３＞０,Ａ＞０ よって（２，０）は極小値
Ｆ（ｘ，ｙ）＝４ｘ－２ｙ＋１＝０でｙについて解くとｙ＝ｆ（ｘ）＝２ｘ＋１／２
になっている。このときｙ＝ｆ（ｘ）をＦ（ｘ，ｙ）によって定められる陰関数といいます。
そして、次のような関係があります。
ｆ′（ｘ）＝－Ｆx Ｆy
問題 Ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ3－３ｘｙ＋ｙ3＝０ このとき、ｙ＝ｆ（ｘ）の極値を求めよ 解答 Ｆx＝３ｘ2－３ｙ Ｆy＝－３ｘ＋３ｙ2 ｆ′（ｘ）＝－Ｆx＝ ｘ2－ｙ Ｆy ｘ－ｙ2 ｆ′（ｘ）＝０ かつ Ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ3－３ｘｙ＋ｙ3＝０ のとき （ｘ，ｙ）＝（２1/3，４1/3）
ｇ（ｘ，ｙ）＝０ を満たす（ｘ，ｙ）で ｆ（ｘ，ｙ）の極値を求めるとき Ｆ（ｘ，ｙ，λ）＝ｆ（ｘ，ｙ）－λｇ（ｘ，ｙ） とおき Ｆx＝Ｆy＝Ｆλ＝０ を満たす（ｘ，ｙ）で極値を持つ。
問題 ｇ（ｘ，ｙ）＝ｘ3＋ｙ3－３ｘｙ＝０ を満たすとき ｚ＝ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ2＋ｙ2 の極値を求めよ 解答 Ｆ＝ｆ－λｇ とおく Ｆx＝２ｘ－λ（３ｘ2－３ｙ）＝０ －－① Ｆy＝２ｙ－λ（３ｙ2－３ｘ）＝０ －－② Ｆλ＝ｘ3＋ｙ3－３ｘｙ＝０ －－③ ①と②より、（ｘ－ｙ）（ｘ＋ｙ＋ｘｙ）＝０ Ⅰｘ＝ｙのとき ③は２ｘ3－３ｘ2＝０ （ｘ，ｙ）＝（０，０）,(3/2,3/2) Ⅱｘ＋ｙ＝－ｘｙのとき ③は（ｘ＋ｙ）（ｘ2－ｘｙ＋ｙ2＋３）＝０ ２番目の因数は０にはならないのでｘ＋ｙ＝０＝ｘｙ （ｘ，ｙ）＝（０，０） ｆ（０，０）＝０ で極小値 ｆ（3/2,3/2)＝９／２で極大値
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