２階斉次微分方程式

斉次とは右辺が０になっているということである。
ax″+bx′+c=0　において解をα,βとおく（α＋β＝−ｂ／ａ　　αβ＝ｃ／ａ）
と、判別式によってx(t)の式がかわる
１，Ｄ＞０　x(t)=A exp(αt) + B exp(βt)
２，Ｄ＝０　x(t)=(A+Bt)exp(αt)
３，Ｄ＜０　x(t)=C exp((α＋β)/2) cos ((α-β)t/2i + θ)
但し、A,B,C　は任意

問題
ｙ″−４ｙ′　＋３ｙ＝０　の方程式を解け

解答
ｘ²−４ｘ＋３＝０　とおくとｘ＝１，３　Ｄ＝４−３＞０なので
x(t)=A exp(t) + B exp(3t)

完全微分方程式

f(x,y)dx+g(x,y)dy=0　において∂f/∂y=∂g/∂x　が成り立っているとき完全微分形であるという。
すると、u(x,y)=C となるような u が存在し u=∫f(x,y)dx=∫g(x,y)dy が成り立つ
例題
(x²+y)dx + (y²+x)dy = 0 を説け

解答
f=x²+y g=y²+x とすると∂f/∂y=∂g/∂x=1 なので完全微分形である
u=∫f(x,y)dx=x³/3 + xy + h(y)
g(x,y)=∂u/∂y=x + h′(y) = x + y²
h(y)=y³/3 + C (Cは積分定数)
よって u = x³/3 + xy + y³/3 + c

２階非斉次微分方程式

斉次とは右辺が０になっていないということである。
この場合どのように計算するかというと、まず右辺を０として斉次微分方程式として解きます。
（つまり、さっきの方法で解く）計算した答えは一般解といいます。

次に、適当な整式を微分方程式に代入して左辺＝右辺になるように変数を調整します。
しかし、そんな簡単に適当な整式が見つかるわけがありません。その整式の求め方は
後ほど解説するとして、とりあえず適当な整式が求まったとします。その解を特別解といいます。
そして、

解＝一般解＋特別解

と、なります。
さらに、重要なことに微分方程式の解が複数あったとき、それらの和を答えとします。
これを重ね合わせの原理といいます。以上をまとめると

解＝一般解(1)＋一般解(2)＋・・・＋特別解

問題
ｙ″＋ｙ＝０　のときｙ（ｔ）を求めよ

解答
ｙ″＝−ｙ　なので今までの経験から ｙ＝Ａsin（ｔ＋α）
しかし、もう一つ解があり ｙ＝Ｂcos（ｔ＋β）
したがって、重ね合わせの原理より ｙ＝Ａsin（ｔ＋α）＋Ｂcos（ｔ＋β）

さて、先ほどの予告通り特別解のもとめ方を解説します。
特別解は、右辺にどのような整式がきているかによって異なります。
ところで一般解の　α,β　が特別解の変数に一致する場合、ｘをかける必要があります。

（１）右辺がexp(cx)に比例する

特別解はαexp(cx)となります。これを実際に代入して　α　と　c　を決定します。
　α,β　がcと一致した場合、特別解はαx exp(cx)となります。

問題
ｙ″−４ｙ′　＋３ｙ＝２exp(2x)
一般解は、　y(t)=A exp(t) + B exp(3t) となります。
特別解は、右辺がexp(cx)に比例し　α,β　が2と一致しないので
αexp(2x)　です。これを微分方程式に代入すると
｛４α　−　８α　＋　３α｝exp(2x)　＝　２exp(2x)
α　＝　−２
特別解は−２exp(2x)　です。
よって、解はy(t)=A exp(t) + B exp(3t) -2exp(2x)

（２）右辺が多項式

多項式の最高次数がｎの場合、特別解もｎ次の多項式を作って計算します。
ところが、一般解の α,β が０を解にもつ場合、多項式全体にｘかｘ² を
かける必要がある

問題
ｙ″−４ｙ′　＋３ｙ ＝ ３ ｘ² − ２ｘ ＋ ３
一般解は、　y(t)=A exp(t) + B exp(3t) となります。
特別解は、右辺が２次の多項式で　α,β　が０でないので
ａｘ² ＋ ｂｘ ＋ ｃ　です。これを微分方程式に代入すると
２ａ − ４（２ａｘ＋ｂ）＋ ３（ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ）　＝３ｘ²−２ｘ＋３
３ａｘ²＋（−８ａ＋３ｂ）ｘ＋ （２ａ−４ｂ＋３ｃ）＝３ｘ²−２ｘ＋３
これは、ｘについての恒等式となるので
／３ａ＝３
｜−８ａ＋３ｂ＝−２
＼２ａ−４ｂ＋３ｃ＝３
ａ＝１　ｂ＝２　ｃ＝３
特別解は ｘ²＋２ｘ＋３ です。
よって、解はy(t)=A exp(t) ＋ B exp(3t) ＋ ｘ²＋２ｘ＋３

（３）右辺がp(x)exp(cx)

p(x)の最高次数がｎの場合、特別解もｎ次の多項式をつくって計算します。
特別解は（＜ｎ次の多項式＞）exp(cx)になります。一般解の α,β が c を解にもつ場合
ｘやｘ²を特別解にかける必要がある。

（４）右辺がcosωｘ　,　sinωｘの一次結合

特別解は ａ cosωｘ ＋ ｂ sinωｘで、一般解の α,β が ±ｉω を解にもつ場合
この式にｘをかける必要がある。
問題
ｙ″＋９ｙ＝６ sin3x　を解け

解答
特性方程式の解が、±３ｉのため通常の特別解にｘをかける。
するとｘ（ ａcos３ｘ ＋ ｂsin３ｘ ）
代入すると ６（ ｂ cos３ｘ − ａ sin３ｘ ）＝６sin３ｘ
６ｂcos３ｘ＝０　　−６ａsin３ｘ＝６sin３ｘ
ｂ＝０　ａ＝−１
特別解はｘ（-cos３ｘ）＝−ｘcos３ｘとわかった。
一般解は、Ａsin３ｘ＋Ｂcos３ｘなので
解は、Ａsin３ｘ＋Ｂcos３ｘ−ｘcos３ｘ

（５）右辺がexp(cx)cosωｘ　,　exp(cx)sinωｘの一次結合

特別解は ｅｘｐ（ｃｘ）（ａ cosωｘ ＋ ｂ sinωｘ）で、一般解の α,β が ｃ±ｉω を解にもつ場合
この式にｘをかける必要がある。

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基本法則

Ｆ(s)＝∫₀^∞ ｅ^-st f(t) dt　

この変換をＬという記号（ラプラス）を使って

Ｌ：　ｆ→Ｆ

というようにかけます。この変換をラプラス変換といいます。
ラプラス変換は、線形なので、

Ｌ（af(t)＋bg(t)）＝ａ（f(t)）＋ｂ（g(t)）

になります。

問題
Ｌ（tn）を計算せよ

解答
Ｌ（tn）＝　　ｎ！　
　　　　　 sn+1

●第一移動法則

Ｌ（exp(-at) tn）＝　ｎ！　
　　　　　　　　　　(s+a)n+1

先ほどの問題のsがs+aになっただけです。

●公式のまとめ

Ｌ｛ｅ-at tn｝＝　ｎ！　
　　　　　　　　(ｓ＋ａ)n+1

Ｌ｛ｓｉｎ(ｂｔ)　ｅ-at｝＝　　 ｂ 　　
　　　　　　　　　　　　　(ｓ＋ａ)2＋ｂ2

Ｌ｛ｃｏｓ(ｂｔ)　ｅ-at｝＝　 ｓ＋ａ 　
　　　　　　　　　　　　　(ｓ＋ａ)2＋ｂ2

Ｌ｛ｓｉｎｈ(ｂｔ)　ｅ-at｝＝　　 ｂ 　　
　　　　　　　　　　　　　　(ｓ＋ａ)2−ｂ2

Ｌ｛ｃｏｓｈ(ｂｔ)　ｅ-at｝＝　 ｓ＋ａ 　
　　　　　　　　　　　　　　(ｓ＋ａ)2−ｂ2

●導関数への応用

Ｌ［f′(t)］＝s Ｌ［f(t)］−f(0)

問題
ｙ″＋２ｙ′−３ｙ＝０を解け　　y(0)=0　　y′(0)=1

解答
Ｌ［f″(t)］＝s2 Ｌ［f(t)］−s f(0) − f′(0)
Ｌ［f′(t)］＝s Ｌ［f(t)］−f(0)
０＝Ｌ［ｙ″］＋２Ｌ［ｙ′］−３Ｌ［ｙ］
初期条件と上２つの式を最後の式に代入すると
(s2+2s-3)Ｌ=１
Ｌ［ｙ］＝　　−１　　＋　　１　　
　　　　　４（ｓ＋３）　４（ｓ−１）
それぞれに逆ラプラシアンを求めればｙが求まります。
ｙ＝−１exp(-3t)　＋　１exp(t)
　　　４　　　　　　　４

●逆ラプラシアン

以下に覚えるべき逆ラプラシアンの公式を書き出します。

Ｌ-1／　ｎ！＼＝ｅ-at tn
　　＼(s+a)n／

Ｌ-1／　　s+a　＼＝ｅ-at cos(bt)
　　＼(s+a)2+b2／

Ｌ-1／　　b　  ＼＝ｅ-at sin(bt)
　　＼(s+a)2+b2／

要するに、ラプラス変換の公式の逆をすればいいのです。

ガンマ関数

Γ＝∫(0→∽)ｅｘｐ(-t) ｔ(x-1) ｄｔ　
で定義される関数がガンマ関数である。以下に特徴をまとめた。
Γ(ｘ＋１)=ｘΓ(ｘ)
Γ(ｘ＋１)=ｎ！

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基本法則

今まで、微分可能なあらゆる関数はテイラー展開できた。
これと似たものにフーリエ解析がある。これは、sinとcosで
周期２πの関数をあらわそうとするものだ。式は、

f(x)=ａo＋��(n=1→∽){ａn cos(nx) ＋ ｂn sin(nx)}
　　　２

さらに次の５つの式を覚えてほしい

∫(-π→π)cos nx dx=∫(-π→π)sin nx dx= 0
∫(-π→π)cos mx sin nx dx=0
∫(-π→π)cos mx cos nx dx=0  (m≠n)
∫(-π→π)sin mx sin nx dx=0  (m≠n)
∫(-π→π)cos nx2 dx=∫(-π→π)sin nx2 dx=π

フーリエ変換のところに登場した ａn や ｂn という数列を 求める式があります。

ａn＝ １　∫(-π→π)f(t) cosnt dt　(n=0,1,2,,)
　　　π

ｂn＝ １　∫(-π→π)f(t) sinnt dt  (n=1,2,3,,)
　　　π

この、ａn,ｂnを「フーリエ級数」といいます。
フーリエ級数は、ｎ→∽において収束します。

偶関数・奇関数

ｆ（ｘ）が偶関数（f(x)=f(-x)）のとき、フーリエ級数は、

ａn＝ ２　∫(0→π)f(t) cos(nt) dt　(n=1,2,,)
　　　π
ｂn＝０

になります。一方、ｆ（ｘ）が奇関数（f(x)=-f(-x)）の時は

ａn＝０
ｂn＝ ２　∫(0→π)f(t) sin(nt) dt　(n=1,2,,)
　　　π

複素数のフーリエ解析

f(x)＝��(-∞→∞)Ｃｎ exp(inx)

Ｃｎ＝ １ ∫(-∞→∞) f(x) exp(-inx)ｄｘ
　　　２π

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基本法則

関数の内積を（ｆ，ｇ）と定義すると

（ｆ，ｇ）＝∫ab ｆ ｇ* ｄｘ

と定義します。これは、関数ｆと関数ｇの共役の積をａからｂまで積分したものです。
だから、この結果が０になると、ｆとｇは直交しているといいます。
この内積には次の特徴があります。

(f,g)=(g,f)*
(f,f)≧0
(f+g,h)=(f,h)+(g,h)
(cf,g)=c(f,g)　　　ｃ：定数

また、

‖ｆ‖＝(ｆ，ｆ)^1/2

これは、ｆのノルムといいます。

関数列　φ1,φ2,φ3,,,,φn　が互いに直交するとき｛φn｝を
区間[a,b]における直交関数系といいます。さらにすべてのφnが
正規化（ノルムが１）されていると｛φn｝を正規直交関数系といいます。

●スツルム・リュービル

　ｄ／ｐ(x) ｄｙ＼　＋｛ｑ(x)＋λｒ(x)｝ｙ＝０
ｄｘ＼　　　ｄｘ／

これを、スツルム・リュービルの微分方程式といいます。
ここで、境界条件を考える必要があって次のようにします。

α1ｙ(a)＋α2ｙ'(a)
β1ｙ(b)＋β2ｙ'(b)

λは固有値といい、そのときの解ｙをλに対応する固有関数といいます。

●ルジャンドル

　ｄ／（１−ｘ2）ｄｙ＼　＋　ｎ（ｎ＋１）ｙ＝０
ｄｘ＼　　　　　 ｄｘ／

これを、ルジャンドルの微分方程式といいます。

●ロドリーグの公式

Ｐn(x)＝　１　　　ｄn　(ｘ2−１)n
　　　　２n　n!　ｄｘn

この公式からＰo＝１,Ｐ１＝ｘ,Ｐ２＝１／２（３ｘ²−１）・・・
と、求まります。これらは、すべて直交関数です。
そして、先ほどの公式をロドリーグの公式といいます。

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