| １，ベクトル解析 | 成分表記 ブラケット 関数の内積 シュワルツの不等式 Ｌｉｅ代数 |
| ２，行列 | 特殊な行列 トレース ローレンツ変換 |
| ３，複素解析 | メビウス変換 ガウス積分 コーシーリーマンの方程式 解析接続 |
| ４，固有値方程式 |
物理数学は物理を数学的に解こうとします。
物理数学０では、数学の基礎。
物理数学１では、物理数学０の知識をもとにした高度な数学です。
レポート課題はこちら(3KB)です。
いままでベクトルの成分などをｘ，ｙ，ｚのような表現を使ってきましたが
一般にｎ個の成分を表記するときなどは不便です。
そこでベクトルＸの成分を次のような表現で表します。
ｘ1 (＝ｘ) ｘ2 (＝ｙ) ｘ3 (＝ｚ)
こうすると累乗と混乱してしまうのですが文意から区別します。
行列などもこのような表現ができ、ｍ×ｎの行列Ａは
ａmn
と表せます。
行列に似たものにテンソルというものがあります。
ｍ×ｎのテンソルは次のようになります。
ｇmn ｇmn
添え字が上付きか下付になるかは式によって任意に変えられます。
｜ｙ＞＝Ａ｜ｘ＞ －－－－－①
という式があり、それから｜ｙ＞の成分、ｙiを求めるには
成分表記した式を使います。(ａは行列Ａの成分)
ｙi＝ａijｘj －－－－－②
①と②の関係は等価です。
ベクトルは次のように表すことがあります。
／ｖ1＼ ｜ｖ＞ ＝ ｜ ｖ2 ｜ 「ケットベクトル」 ＼ｖ3／ ＜ｖ｜ ＝（ｖ1,ｖ2,ｖ3） 「ブラベクトル」
これらには次のような定理があります。
＜ｖ｜ｖ＞＝(ｖ1)2 ＋(ｖ2)2 ＋(ｖ3)2
これは「ベクトルの内積」というものです。
＜ｖ｜ｖ＞1/2＝||ｖ||
||ｖ|| をノルムといって、ベクトルの長さに相当します。
関数ｆ(ｘ)は無限に集まったベクトルとして考えることができます。
これをベクトル的に表すと
ｆ（ｘ）＝＜ｘ｜ｆ＞
と、定義できます。 ＜ｘ｜ の正体は≦
＜ｘ｜＝(δ(1)，δ(1.1)，δ(1.2)，δ(1.3)，・・，δ(2)，・・・)
のようなもので、実際は間隔は０に無限に近く成分は無限にあります。
｜ｆ＞ の正体も
｜ｆ＞＝(f(1)，f(1.1)，f(1.2)，f(1.3)，・・，f(2)，・・・)T
のようなものです。したがってｆ（３）は
ｆ(３)＝（・・・０，０，１，０，０，・・・）（・・f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，・・） ＝ｆ（３）
ということになります。
２つの関数の内積は、
＜ｆ，ｇ＞＝∑＜ｆ｜ｘ＞＜ｘ｜ｇ＞＝∫ｄｘｆ* ｇ
これは、「応用数学」の内積と同じです。
ベクトルＸ,Ｙについて次のような関係が成り立ちます。
｜＜Ｘ｜Ｙ＞｜≦||Ｘ||・||Ｙ|| ||Ｘ＋Ｙ|| ≦||Ｘ||＋||Ｙ||
この関係を「シュワルツの不等式」といいます。
Ｌｉｅ代数は
Ｌx＝ｉ／ｙ∂ －ｚ∂ ＼ ＼ ∂ｚ ∂ｙ／ Ｌy＝ｉ／ｚ∂ －ｘ∂ ＼ ＼ ∂ｘ ∂ｚ／ Ｌz＝ｉ／ｘ∂ －ｙ∂ ＼ ＼ ∂ｙ ∂ｘ／ [Ｌx,Ｌy]＝ｉＬz [Ｌy,Ｌz]＝ｉＬx [Ｌz,Ｌx]＝ｉＬy
という関係があります。
行列をＡとすると、
ＡTＡ＝Ｉ Ｉ：単位行列
これが成り立つ行列Ａを直交行列といいます。
Ａt＝Ａ
これが成り立つ行列Ａをエルミット行列といいます。反対に
Ａt＝－Ａ
は、反エルミット行列といいます。
ＡtＡ＝Ｉ
これが成り立つ行列Ａをユニタリー行列といいます。
ｇＡTｇＡ＝Ｉ Ｉ：単位行列 但し、／－１ ０ ０ ０＼ ｇ＝｜ ０ １ ０ ０ ｜ ｜ ０ ０ １ ０ ｜ ＼ ０ ０ ０ １／
これを満たすＡをローレンツ変換行列といいます。
また、ｇを時空計量テンソルといいます。
トレースは行列の対角成分の和です。記号は
Ｔｒ Ａ
で、これで行列Ａのトレースを表します。
トレースは先ほどのローレンツ変換に対して不変です。
複素数の範囲で関数を考えると
ｆ（ｚ）＝ａｚ＋ｂ ｇ（ｚ）＝ｅｚ＋ｆ とするとき ｃｚ＋ｄ ｇｚ＋ｈ ｇ・ｆ（ｚ）＝Ａｚ＋Ｂ という形式で表せます。 Ｃｚ＋Ｄ
今の変換をメビウス変換といいます。
∫-∞∞ｄｘ ｅ－ａｘ2＝(π／ａ)1/2
これを２重責分でよく用いるガウス積分というものです。
関数ｆ（ｚ）が微分可能で、ｆ’（ｚ）が連続であれば、 ｆ（ｚ）は正則であるといいます。
複素関数のｆ（ｚ）について、
ｆ（ｚ）＝ｕ（ｘ，ｙ）＋ｉｖ（ｘ，ｙ） のとき ∂ｕ＝∂ｖ ∂ｕ＝－∂ｖ ∂ｘ ∂ｙ ，∂ｙ ∂ｘ ならば、ｆ（ｚ）は正則です。
複素関数で任意の点に置いて微分可能である関数を
「解析関数」（正則関数）といいます。
領域Ｄ1で解析関数になっているｆ(z)と
領域Ｄ2で解析関数になっているｇ(z)があったとします。
領域Ｄ1とＤ2には共通部分が含まれていて、おのおのをテーラー展開したときの
テーラー級数がすべて一致しているときは、領域Ｄ1∪Ｄ2で解析関数ｈ(ｚ)を
定義することができます。このような操作を「解析接続」といいます。
問題 解析関数 １ ｌｎ／１＋ｉｚ＼ と ａｒｃｔａｎ ｚ ２ｉ ＼１－ｉｚ／ がｚ＝±ｉを除いた点で解析接続できることを証明せよ 解答 両方とも微分すると １ １＋ｚ2 よってテーラー展開すると両方とも同じテーラー級数になる。
行列をＡ、固有状態(固有ベクトル)をｘ、固有値をλとすると
Ａｘ＝λｘ または Ａ｜ｘj＞＝λ｜ｘj＞
という関係が成り立ちます。このとき
ｄｅｔ(Ａ－λＩ)＝０ Ｉ：単位行列
が成り立つ必要があります。これを固有値方程式といいます。
もし、一つの固有値にｎ個の固有状態があると「縮退ｎ」といいます。
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