物理数学Ⅱ

１，微分方程式と可積分性	微分方程式の種類　ベルヌーイ型　Riccati型
２，二階微分方程式	Liouvilleの解　Ｆｕｃｈｓ型方程式Ｇａｕｓｓの超幾何微分方程式　Sturm-Liouville型方程式
３，高階線形常微分方程式	Wronskian　高階線形常微分方程式の解法
４，線形編微分方程式	変数変換法　変数分離法
５，Fourier変換	Laplace変換
６，Ｇｒｅｅｎ関数	摂動項
７，汎関数	－

１，微分方程式と可積分性

ｘの関数はf(x)　と表すことができましたが微分演算子も同じように
ｆ（∂）と表すことができます。以下に例を示します。

例１
∂(ｆｇ)＝(∂ｆ)ｇ＋ｆ(∂ｇ)

例２
Ａ(∂)　＝　ａ(x)∂　＋　ｂ(x)
Ｂ(∂)　＝　ｃ(x)∂　＋　ｄ(x)　　のとき
Ｂ(∂)Ａ(∂)ｆ(x)　＝｛ｃａ∂²　＋　(ｃ(∂ａ)∂・・・)・・・)ｆ

例２ではｃ∂(ａ∂)の計算をするときに∂が２つの関数にかかっているので
例１の定理を使います。

微分方程式の種類

Ａ(∂)ｆ(ｘ)＝ｇ(ｘ)

このような形をしているものを「微分方程式」といいます。
Ａ(∂)が１つの変数に対しての微分のときを「常微分方程式」
複数の変数に対する微分なら「編微分方程式」といいます。

●斉次方程式

Ａ(∂)ｆ(ｘ)＝０

先ほどの式でｇ(ｘ)＝０の場合を「斉次方程式」といい
解がｆ1(ｘ)とｆ2(ｘ)のとき

αｆ1(ｘ)＋βｆ2(ｘ)

これも解になっています。(α,βは定数)

●非斉次方程式

Ａ(∂)ｆ(ｘ)≠０

ｇ(ｘ)≠０の場合を非斉次方程式といいます。このとき、

Ａ(∂)ｆ(ｘ)＝０

の解をｆ0

Ａ(∂)ｆ(ｘ)＝ｇ(ｘ)

このうち１つの解をｆ1(ｘ)とすると

ｆ₁(ｘ)　＋　αｆ₀(ｘ)

これも解になっています。このとき、ｆ₀(ｘ)を「特殊解」、ｆ₁(ｘ)を「一般解」といいます。

●非線形方程式

ｇ(x)がｆ(x)による場合、つまりｇ(x)がｆ(x)の関数になっているときは一般には解けません。
非線形方程式の解はｃａｏｓになってしまうからです。

ベルヌーイ型

非線形方程式は一般には解けないのですが次のような形の微分方程式は解くことができます。

ｖ₁ｄｆ(x)　＋　ｖ₀(x)ｆ(x)　＝　ｕ(x)ｆⁿ(x)
　 ｄｘ

ｙ≡ｆ^1-n(x)　　　とすると

　１　ｖ₁ ｄｙ(x)　＋　ｖ₀(x)ｙ(x)　＝　ｕ(x)
１－ｎ　　ｄｘ

このように、非線形と思われていたのが、実は、線形に変換できます。
（最後の式です。右辺がｙ(x)に依存していません。）

Riccati型

先ほどのベルヌーイ型でｎ＝２にして、ω(x)を足したものです。

－ｖ₁ｄｆ(x)　＋　ｖ₀(x)ｆ(x)　＝　ｕ(x)ｆ²(x)　＋　ω(x)
　　 ｄｘ

ｙ≡　　　１　　 　　　とすると
　　ｆ(x)－ｆ₀(x)

_ｖ1 ｄｙ(x)　＋　{ｖ₀(x)－２ｕ(x)ｆ₀(x)}ｙ(x)　＝　ｕ(x)
　　ｄｘ

同様に、線形の微分方程式になっています。

２，二階微分方程式

Liouvilleの解

非線形な二階微分方程式を解く方法は一般には知られていない。
ここでは、線形二階微分方程式について説明します。

ｄｆ　＋　Ｐ(z)ｄｆ　＋　Ｑ(z)ｆ　＝０
ｄｚ　　　　　 ｄｚ

このとき、ｆ₁を１つの解として

ｆ(z)＝ｆ₁ｇ(z)

とおくとｇ(ｚ)について解が求まって

ｆ(z)＝ｆ₁(z)∫_zo^z dz' {f₁(z')}^-2 exp(-∫_z2^z'dz"P(z"))

ただし、ｚ’とｚ”は任意の点です。また、Ｐは先ほどの線形二階微分方程式のＰ(z)のことです。

Ｆｕｃｈｓ型方程式

領域Ｄ上の点z0を除いた近傍で二階微分方程式が正則で、その解がすべて
z0を確定特異点とするとき、その方程式はz0で「Fuchs型」であるといいます。

さきほどの２階微分方程式のＰ，Ｑを

Ｐ(z)＝∑(n=-1→∞)ｐn(ｚ－ｚ0)ⁿ
Ｑ(z)＝∑(n=-2→∞)ｑn(ｚ－ｚ0)ⁿ

で定義します。また、そのときの方程式の解をｆ1,ｆ2とすると

ｆ1(z)＝(ｚ－ｚ0)^s1 ∑(n=0→∞)ａn(ｚ－ｚ0)ⁿ
ｆ2(z)＝(ｚ－ｚ0)^s2 ∑(n=0→∞)ｂn(ｚ－ｚ0)ⁿ

とおきます。このとき、次のような関係がなりたっています。

 ／Ｄ(s1)　　０　　　　０　　　・　　０　　・＼  ／ａ0＼
｜ d1(s1)　Ｄ(s1+1)　　０　　　・　　０　　・ ｜｜ ａ1 ｜
｜ d2(s1)　d1(s1+1)　Ｄ(s1+2)　・　　０　　・ ｜｜　・ ｜＝０
｜ 　・　　　・　　　　・　　　・　　０　　・ ｜｜　・ ｜
｜ dn(s1)　dn(s1+1)　dn(s1+2)　・　Ｄ(s1+n)・ ｜｜ ａn ｜
 ＼　・　　　・　　　　・　　　・　　・　　・／  ＼ ・／

ただし、

Ｄ(s)＝ｓ（ｓ－１）＋ｐ_-1ｓ＋ｑ_-2
ｄn(s)＝ｐ_n-1ｓ＋ｑ_n-2

以上から解が求まります。

Ｇａｕｓｓの超幾何微分方程式

ｄｆ　＋　Ｐ(z)ｄｆ　＋　Ｑ(z)ｆ　＝０
ｄｚ　　　　　 ｄｚ

に対して

Ｐ(z)＝１－α－α’　＋　１－β－β’　＋　１－γ－γ’
　　　　 ｚ－ａ　　　　　　ｚ－ｂ　　　　　　ｚ－ｃ

Ｑ(z)＝　　　　　 １　 　　　　　×　／αα’(ａ－ｂ)(ａ－ｃ)　＋
　　　 (ｚ－ａ)(ｚ－ｂ)(ｚ－ｃ)　　　＼　　　　ｚ－ａ　　　　

　　　 ββ’(ｂ－ｃ)(ｂ－ａ)　＋　γγ’(ｃ－ａ)(ｃ－ｂ)＼
　　　　　　　　ｚ－ｂ　　　　　　　　　　　ｚ－ｃ　　　 ／

α＋α’＋β＋β’＋γ＋γ’＝１

のとき確定特異点はｚ＝ａ，ｂ，ｃのみになります。

さて、ここで

ａ＝０
ｂ＝∞
ｃ＝１

とおきます。すると微分方程式の形は

ｚ(１－ｚ)ｄ²ｆ ＋　{γ－(α＋β＋１)ｚ}ｄｆ　－　αβｆ＝０
      　　ｄｚ² 　　　　　　　　　　　　ｄｚ

この式を「Gaussの微分方程式」か「超幾何微分方程式」といいます。
解については一つをｆ1とすると、それをＦ(α,β,γ;ｚ)で表して次のようになります。

ｆ1(z)＝Ｆ(α,β,γ;ｚ)

　　　＝　Γ(γ)　　∑(n=0→∞)Γ(α＋ｎ)Γ(β＋ｎ)
　　　　Γ(α)Γ(β)　　　　　　　ｎ！Γ(γ＋ｎ)

また、もう１つの解ｆ2は

ｆ2(z)＝ｚ^1-γ Ｆ(α－γ＋１,β－γ＋１,２－γ；ｚ)

なお、Γはガンマ関数です。

Sturm-Liouville型方程式

二階微分方程式には次のようなものがあります。
これらはまとめてSturm-Liouville型方程式といいます。

●Legendreの微分方程式

(１－ｘ²)²ｄ²Ｐn(x) －２ｘｄＰn　＋　ｎ(ｎ＋１)Ｐn(x)＝０
　　　　  ｄｘ²　　　　　 ｄｘ

Ｐn＝Ｆ(－ｎ，ｎ＋１,１；(１－ｚ)／２)

●Legendreの陪微分方程式

(１－ｘ²)²ｄ²Ｐun(x) －２ｘｄＰun　＋　／ｎ(ｎ＋１)－　ｕ　 ＼Ｐ^u_n(x)＝０
　　　 　 ｄｘ²　　　　 　 ｄｘ　　　　＼　　　　　　１－ｘ²／

Ｐ^u_n＝exp(iπu)／１＋ｚ＼u/2　×　Ｆ(－ｎ，ｎ＋１,１－ｕ；(１－ｚ)／２)
　　　　Γ(1-u)＼１－ｚ／

３，高階線形常微分方程式

微分方程式で

Ａ(∂)ｆ(ｘ)＝ｇ(ｘ)

のＡ(∂)は

Ａ(∂)＝∑(n=0→n)ｖk(x) ∂^k

でした。ｎは１までのときを「１階微分」、ｎ＝２もときは「２階微分」でしたが
ｎが３を越えると「高階微分方程式」になります。

Wronskian

Ａ(∂)ｆ(ｘ)＝ｇ(ｘ)

でｇ(x)＝０のとき、今の微分方程式はｎ個の解を持ちます。
解をそれぞれｙnとおき、次のような行列式を作ります。

　　　　　　　　　｜ｙ1　　ｙ1⁽¹⁾　・　　・　　｜
Ｗ(y1,y2,・・yn)＝｜ｙ2　　　・　　・　　・　　｜
　　　　　　　　　｜　・　　 ・　　・　　・　　｜
　　　　　　　　　｜ｙn　　　・　　・　ｙn^(n-1)｜

これを「Ｗｒｏｎｓｋｉａｎ」といいます。
もし、この行列式が０になっていれば解は線形独立になっています。

高階線形常微分方程式の解法

Ｂ(∂)Ａ(∂)ｆ(ｘ)＝ｇ(ｘ)

このような形になっているときは

Ｂ(∂)ｈ(∂)＝ｇ(ｘ)

を初めに計算して、次に

Ａ(∂)ｈ(∂)＝ｈ(ｘ)

を計算することによって求まります。

４，線形編微分方程式

線形微分方程式で独立変数が複数個存在する場合、いくつかの解法があります。

変数変換法

Ｒｆxx　＋　Ｓｆxy　＋　Ｔｆyy　＋　Ｐｆx　＋　Ｑｆy　＋Ｕｆ　＝ｇ

のとき、適当な変数ｒｓｔｐｑを用いて

ｒｆ_ζζ　＋　ｓｆ_ζη　＋　ｔｆ_ηη　＋　ｐｆ_ζ　＋　ｑｆ_η　＋Ｕｆ　＝ｇ

に変換できます。
このとき、ｒ～ｑの変数は任意にとることができるので適当な置き換えをすることによって
式が解けるようになります。

変数分離法

Ａ(∂)ｆ(x,y)＝０

のとき、Ａ(∂)とｆ(x,y)が次のようにｘの関数とそれ以外の変数に分離できるとします。

Ａ(∂) ＝Ａx(∂x)＋Ｂ(∂)
ｆ(x,y)＝Ｘ(x)ｈ(y)

このとき、先ほどの式は

　１　｛Ａx(∂x)Ｘ(x)｝＋　１　｛Ｂ(∂)ｈ(y)｝＝０
Ｘ(ｘ)　　　　　　　　　　ｈ(y)

に分離できます。
このとき各項が定数になっていて、その定数の合計が０になっている必要があるので

Ａx(∂x)Ｘ(x)＝　λＸ(x)
　Ｂ(∂)ｈ(y)＝－λＸ(x)

ただし、λは定数です。

５，Fourier変換

演算子Ａ(d/dx)ｆ(x)に対して次のような変換ができます。

　　　　　　　　　　　　　　　 _
Ａ(d/dx)ｆ(x)＝　１　Ａ(d/dx)∫f(k) exp(ikx)ｄｋ
　　　　　　　 √２π

このような変換を「Fourier(フーリエ)変換」といいます。

Laplace変換

＾
ｆ＝∫₀^∞　ｆ(x) exp(-kx)ｄｘ

このようにｆ(x)を変換したときｆ^はｆの「Laplace(ラプラス)変換」といいます。

６，Ｇｒｅｅｎ関数

Green関数は次のように定義します。

(Ａ－λ)Ｇ_λ(x,y)　＝　δ(x-y)

Ｇ_λ(x,y)　＝　Ｇ_λ(y,x)

ただし、Ａは演算子、λは定数です。
Green関数の正体は次の通りです。

　　　　　　　　　　　＿
Ｇ_λ(x,y)＝∑φn(x) φn(x)
　　　　　　　　λn－λ

このGreen関数の応用例ですが

(Ａ－λ)ｆ(x)＝ρ(x)

という非斉次方程式があった場合、

ｆ(x)＝∫ｄｙＧ_λ(x,y)ρ(y)

といった具合にすぐ求めることができます。
このとき、Ｇ_λは波の伝搬を意味しています。
従って、それを積分するということは波を重ね合わせているということです。

摂動項

Green関数は次のように摂動項を使って表せます。

Ｇ_λ(x,y)＝∑Ｇ_λ⁽ⁿ⁾(x,y)

このｎ次の摂動項は次のようになります。

Ｇ_λ⁽ⁿ⁾(x,y)
＝∫ｄｘ1 ∫ｄｘ2・・∫ｄｘn Ｇ_λ⁽⁰⁾Ｖ(ｘ1) Ｇ_λ⁽¹⁾Ｖ(ｘ2)・・Ｇ_λ⁽ⁿ⁾Ｖ(ｘn)

７，汎関数

汎関数は、関数を変数の如く扱う関数です。たとえばｆ(x)とｇ(x)があったとき、

ｇ[ｆ(x)]

このようなとき、関数ｇが汎関数になっています。