高校数学は目安として以下のように学習していきます。

「ｙはｘの関数である」
これはｘの値を決めると自動的にｙの値も決まってしまうということです。
数学的にはｙ＝ｆ(ｘ)と表します。

ｘのとりうる範囲を定義域、 ｆ(ｘ)のとりうる範囲を値域といいます。

２次関数のグラフ

２次関数は一般的に

ｙ＝ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ

あるいは

ｙ＝ａ(ｘ−ｐ)2＋ｑ

で表せ、ｘ²の係数が正(ａ＞０)のとき、グラフは上に
開きます。ａ＜０のときは下に開き、ａ＝０だと直線になります。
また、｜ａ｜が大きいと２次関数の開き方が狭くなります。

ｙ＝ａｘ2

を基本の２次関数としたとき

ｙ＝ａ(ｘ−ｐ)2＋ｑ

は基本の２次関数をｘ軸方向にｐ、ｙ軸方向にｑだけ移動した関数です。

問題１
３点(−１，０),(０，５),(３，−４)を通る２次関数を求めよ

解答１
２次関数の一般の形は
ｙ＝ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ
で表せます。これに代入して連立方程式をたてればいいわけです。

　／　０＝ａ−ｂ＋ｃ
 ｜ 　５＝ｃ
　＼−４＝９ａ＋３ｂ＋ｃ

ａ＝−２　ｂ＝３　ｃ＝５

ｙ＝−２ｘ2＋３ｘ＋５



問題２
頂点の座標が（１，２）で（−１，６）を通る２次関数を求めよ

解答２
２次関数は一般に
ｙ＝ａ(ｘ−ｐ)2＋ｑ
で表せます。座標が（１，２）なので
ｐ＝１　ｑ＝２
さらに（−１，６）を通るので

６＝ａ(−１−１)2＋２
ａ＝１

よって
ｙ＝(ｘ−１)2＋２

最大値・最小値

ｘの定義域が　ａ＜ｘ＜ｂ　で表せるものとします。
もし、ｙ＝ｆ(ｘ)　が１次関数のときはｙの値域は
ｆ(ａ)＜ｙ＜ｆ(ｂ)　かその逆になります。　
しかし、２次関数のときは違ってきます。
例としてｘの定義域が　−１＜ｘ＜３でｙ＝ｘ²
で表せる関数は右図のようになります。
これより１＜ｙ＜９ではなく、０＜ｙ＜９であることがわかります。
２次関数では定義域の両端以外に頂点も考慮する必要があります。

判別式

２次関数がｘ軸との交点を持つか判別できる式があります。
これは、判別式というもので略してＤと書きます。
２次関数を

ｙ＝ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ

とおいたとき判別式は次のようになります。

Ｄ＝ｂ2−４ａｃ

このときのＤの値によって関数とｘ軸との関係がわかります。

Ｄ＞０　　　異なる２点で交わる
Ｄ＝０　　　１点で接する
Ｄ＜０　　　交わらない

問題１
ｘ軸とｙ＝ｘ2−２ｘ−１の関係をのべよ

解答１
Ｄ＝(−２)2−４・１・(−１)
　＝８＞０

よって異なる２点で交わる


問題２
ｙ＝ｘ2−２ｘ＋ｋ　がｘ軸と異なる２点で交わるような
範囲を求めよ

解答２
Ｄ＝(−２)2−４・１・ｋ＞０
ｋ＜１


問題３
ｙ＝ｘ2−４ｘ＋５　と　ｙ＝ｘ＋１の
共有点の個数とその座標を求めよ

解答３
ｘ2−４ｘ＋５＝ｘ＋１

ｘ2−５ｘ＋４＝０−−−−−−−−−−�@

Ｄ＝(−５)2−４・１・４
　＝９＞０
よって異なる２点で交わる。

�@より、ｘ＝１，４　そのときのｙの値はｙ＝２，５
よって（１，２），（４，５）

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三角比は直角三角形のある角度(直角ではない部分)の角が
与えられているときの各辺の長さの比のことです。
これには、３種類あってそれぞれｓｉｎ，ｃｏｓ，ｔａｎで表します。
右図のような三角形があるとき三角比は次のように表せます。

ｓｉｎα＝ｂ／ｃ

ｃｏｓα＝ａ／ｃ

ｔａｎα＝ｂ／ａ

問題
右図のような三角形があるとき
ｓｉｎＡ，ｃｏｓＡ，ｔａｎＡをもとめよ

解答
ｓｉｎＡ＝６／１０＝３／５

ｃｏｓＡ＝８／１０＝４／５

ｔａｎＡ＝６／８　＝３／４

ｓｉｎ，ｃｏｓ，ｔａｎ値は次のように決まっています。

三角比は０〜９０度までは暗記する必要があります。
しかし、それ以上は以下の公式を使って求めることができます。

単位円

三角比は単位円を使って考えるとわかりやすくなります。
単位円は半径が１の円で原点に中心を持ってきます。
この円上に点を打ち、ｘ軸となす角をθとします。
すると、ｘ座標はｃｏｓθ、ｙ座標はｓｉｎθになっています。

ここにｘ＝１という直線を引いてみます。
原点から点を通る直線をのばしてｘ＝１を交わります。
このときのｙ座標の値がｔａｎθの値です。

点は単位円上しか移動できないのでｃｏｓθ、ｓｉｎθのとりうる範囲は
次のように決まってしまいます。

−１≦ｃｏｓθ≦１

−１≦ｓｉｎθ≦１

ｔａｎθの値は自由にとれます。

三角比の公式１

●３６０＋θ

三角比の角度は１周してしまうと元の状態に戻ってしまいます。
これは、単位円で考えるとわかりやすいと思います。

ｓｉｎ(３６０＋θ)＝ｓｉｎθ

ｃｏｓ(３６０＋θ)＝ｃｏｓθ

ｔａｎ(３６０＋θ)＝ｔａｎθ

●１８０＋θ

では、θに１８０度たした場合を考えます。
このとき、単位円の三角形は第１象限から第３象限に移動するので
ｘ座標のｃｏｓθ、ｙ座標のｓｉｎθの値が反転します。
しかし、ｔａｎθは方向が変わるだけで元の直線と平行です。

ｓｉｎ(１８０＋θ)＝−ｓｉｎθ

ｃｏｓ(１８０＋θ)＝−ｃｏｓθ

ｔａｎ(１８０＋θ)＝ｔａｎθ

●１８０−θ

１８０度からθを引いた場合は単位円の三角形が
ｙ軸を対象とする位置に移動しています。
従って、ｘの符号は反転し、ｙは不変、ｔａｎの符号は反転します。

ｓｉｎ(１８０−θ)＝ｓｉｎθ

ｃｏｓ(１８０−θ)＝−ｃｏｓθ

ｔａｎ(１８０−θ)＝−ｔａｎθ

●９０−θ

このときはｘとｙの立場が入れ替わっているので次のようになります。

ｓｉｎ(９０−θ)＝ｓｉｎθ

ｃｏｓ(９０−θ)＝ｃｏｓθ

ｔａｎ(９０−θ)＝１／ｔａｎθ

●９０＋θ

このときはｘ→ｙ、ｙ→−ｘという変換がおきています。

ｓｉｎ(９０＋θ)＝ｃｏｓθ

ｃｏｓ(９０＋θ)＝−ｓｉｎθ

ｔａｎ(９０＋θ)＝−１／ｔａｎθ

三角比の公式２

ｓｉｎ，ｃｏｓ，ｔａｎの間にも公式があります。

ｓｉｎ2θ＋ｃｏｓ2θ＝１

ｔａｎθ＝ｓｉｎθ
　　　　　ｃｏｓθ

１＋ｔａｎ2θ＝　１　　
　　　　　　　 ｃｏｓ2θ

特に上の１，２番目の公式は重要です。

問題
θが鈍角でｓｉｎθ＝４／５のとき、ｃｏｓθ，ｔａｎθを求めよ

解答
ｓｉｎ2θ＋ｃｏｓ2θ＝１　より

１６　＋　ｃｏｓ2θ　＝１
２５

ｃｏｓ2θ＝ ９ 
　　　　　２５

ｃｏｓθ＝　−３　　　　　　(θが鈍角なのでｃｏｓθ＜０)
　　　　　　　５


ｔａｎθ＝ｓｉｎθ＝−４
　　　　　ｃｏｓθ　　３

正弦定理

右図のような三角形があり外接円の半径をＲとすると

　ａ　　　＝　　ｂ　　　＝　　ｃ　　　＝　２Ｒ
ｓｉｎＡ　　　ｓｉｎＢ　　　ｓｉｎＣ

問題
ａ＝√３　ｂ＝√２　Ａ＝６０度　のときＢを求めよ

解答
　　ａ　　＝２Ｒ　より
ｓｉｎ６０

Ｒ＝１

２＝　ｂ　　
　　ｓｉｎＢ

ｓｉｎＢ＝１／√２

Ｂ＝４５，１３５
ここでＢ＋Ｃ＝１２０度なので　Ｂ＝４５度

余弦定理

右図の三角形には次のような関係のあります。

ａ2＝ｂ2＋ｃ2−２ｂｃcosＡ
ｂ2＝ｃ2＋ａ2−２ｃａcosＢ
ｃ2＝ａ2＋ｂ2−２ａｂcosＣ

これを変形して次のような公式も多用します。

ｃｏｓＡ＝ｂ2＋ｃ2−ａ2
　　　　　　　２ｂｃ

問題
ｂ＝２　ｃ＝３　Ａ＝６０度のときａを求めよ

解答
ａ2＝ｂ2＋ｃ2−２ｂｃcosＡ
　 ＝２2＋３2−２・２・３・１／２
　 ＝４＋９−６
　 ＝７

ａ＝√７

三角形の面積

右の三角形の面積は次のように求まります。

面積Ｓ＝１　ｂｃsinＡ
　　　　２

問題
ａ＝３　ｂ＝４　ｃ＝５　の三角形の面積を求めよ

解答
ｃｏｓＡ＝１６＋２５−９
　　　　　　２・４・５

　　　　＝　３２　＝　４
　　　　　　４０　　　５　　　

ｓｉｎＡ＝３／５

Ｓ＝１　ｂｃsinＡ　＝１　４・５　３
　　２　　　　　　　 ２　　　　　５

　＝６

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階乗

一般には　ｎ！　と書きます。
これは、ｎ×(ｎ−１)×(ｎ−２)×・・・×１　という意味です。

問題
６！を求めよ

解答
６＊５＊４＊３＊２＊１＝７２０

順列

［Ａ］［Ｂ］［Ｃ］から２語選んで語句を作る場合３×２通りの方法があります。
このことを記号Ｐ(パーミネーション)を使って

3Ｐ2

と書きます。意味は３つのものから２つを選ぶ、場合の数です。
ここでは語句に順番があるのでＡＢとＢＡは区別します。 一般に

nＰr

は、ｎ個の中からｒ個を順番に選ぶときの場合の数を表し、計算は

nＰr＝ｎ×(ｎ−１)×・・・(ｎ−ｒ＋１)

のようにｒ回かけ算をするという意味です。

問題
6Ｐ3　を求めよ

解答
６＊５＊４＝１２０

組み合わせ

［Ａ］［Ｂ］［Ｃ］から２語選んで組を作る場合３通りの方法があります。
このことを記号Ｃ(コンビネーション)を使って

3Ｃ2

と書きます。意味は３つのものから２つを選び、組を作る場合の数です。
ここではＡＢとＢＡは同一なものです。一般に

nＣr

は、ｎ個の中からｒ個を組にするときの場合の数を表し、計算は

nＣr＝nＰr
　　   ｒ！

問題
6Ｃ3　を求めよ

解答
６×５×４＝２０
３×２×１

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