因数分解

中学校時代にも因数分解をやったと思うのですが高校では３次式まで扱います。

(ａ＋ｂ)3＝ａ3＋３ａ2ｂ＋３ａｂ2＋ｂ3
(ａ−ｂ)3＝ａ3−３ａ2ｂ＋３ａｂ2−ｂ3

(ａ＋ｂ)(ａ2−ａｂ＋ｂ2)＝ａ3＋ｂ3
(ａ−ｂ)(ａ2＋ａｂ＋ｂ2)＝ａ3−ｂ3

●たすき掛け

２次式を因数分解するときｘ²の係数が１以外のとき次のたすき掛けを使うと便利です。

ａｃｘ2＋(ａｄ＋ｂｃ)ｘ＋ｂｄ

 ａ　＼／　ｂ　→　ｂｃ
 ｃ　／＼　ｄ　→　ａｄ 　
ａｃ　　　ｂｄ　ａｄ＋ｂｃ

(ａｘ＋ｂ)(ｃｘ＋ｄ)

これが成り立つようにａ，ｂ，ｃ，ｄを決めればいいわけです。

問題
２ｘ2＋３ｘ＋１　を因数分解せよ
解答

ｘ2の係数でかけて２になるのは１と２の組
定数項でかけて１になる組は１と１　　−１と−１

１　１→　２
２　１→　１　
２　１　２＋１

最後にこのたすき掛けで和が３になるのは
ａ＝１　ｂ＝１　ｃ＝２　ｄ＝１　なので

(ｘ＋１)(２ｘ＋１)

指数

指数には以下の基本的な公式があります。

ａmａn＝ａm+n

（ａm）n＝ａmn

（ａｂ）n＝ａnｂn

問題
(ａｂ-1)3×ａ-4÷ａ-2　を計算せよ

解答
ａ3ｂ-3ａ-4+2

＝ａ3-4+2ｂ-3
＝ａｂ-3

有理化

分数の分母には平方根があるとよくないので有理化します。
有理化のやり方は、平方根が単独である場合には、その数を
分子、分母にかけます。

問題
 ３ 　を有理化せよ
√６

解答
 ３　×　√６　＝　３√６＝√６
√６ ×　√６　　　　６　　 ２ 

もし、分母が　ａ＋√ｂ　の形になっているときは
分母分子にａ−√ｂ　をかけます。すると分母から平方根がなくなります。

問題
√５＋√２　を有理化せよ
√５−√２

解答
(√５＋√２)(√５＋√２)　＝　５＋２＋２√10
(√５−√２)(√５＋√２)　　　　５−２

＝７＋２√10
　　　３

２重根号

根号の中に根号があるとき、次のようにすることができます。

以下では(ａ＋・・・)^1/2という表現をしていますがこれも
平方根の一種です。(ＨＰでは表せないのでこのようにしました。)

問題
(１２−６√３))1/2　を簡単にせよ

解答
　｛３(４−２√３))｝1/2

＝√３｛√３−１｝

＝３−√３

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数列は数が一定の規則で並んでいます。
たとえば２，３，５，７，１１，１３，１７，１９・・・というのは
１とその数しか約数を持たないという素数の集まりです。
一般に数列は順番にａ₁，ａ₂，ａ₃・・・というように表します。

等差数列

等差数列とは数列の差が一定の数列のことです。
たとえば１，４，７，１１・・というのは差が３です。

一般には次のようになります。

ａn＝ａ1＋(ｎ−１)ｄ

　　ｄ：公差

問題
等差数列　２，５，８，・・・の一般項ａnと第２０項を求めよ

解答
ａ1＝２
ｄ＝３　なので

ａn＝２＋３(ｎ−１)
　 ＝３ｎ−１

ａ20＝５９

●等差数列の和

Ｓn＝ａ1＋ａ2＋・・・ａn

とＳnを定義します。このＳnを「和数列」といいます。
等差数列の和は次のようになります。

Ｓn＝１ｎ｛２ａ1＋（ｎ−１）ｄ｝
　 　２

　 ＝１ｎ｛ａ1＋ａn｝
　 　２

等比数列

等比数列は△倍、△倍・・・と倍増していく数列のことです。
たとえば、１，−２，４，−８，１６，−３２・・・というのも等比数列です。

ａn＝ａ1ｒn-1

で表せます。ｒは公比です。

問題
等比数列1,-4,16,-64・・の一般項を求めよ

解答
ａ1＝１
ｒ＝−４

ａn＝(−４)n-1

●等比数列の和

Ｓn＝ａ1（ｒn−１）
　　　　ｒ−１

ただし、ｒ＝１のときは
Ｓn＝ｎａ1

問題
ａn＝(−４)n-1で５項までの和を求めよ

解答
ａ1＝１
ｒ＝−４　　なので

Ｓn＝（(−４)n−１）
　　　−４−１

　＝１−(−４)n
　　　　５

階差数列

階差数列は数列の差の数列のことです。
たとえば１，２，４，７，１１，１６，２２・・・の差は
１，２，３，４，５，６・・・になっています。
この数列のことを階差数列というわけです。

いま、階差数列をｂnとするとａnは次のように求まります。

ａn＝ａ1　＋　��(k=1→n-1)　ｂk

ここで注意したいのは�狽ﾍn-1までしか加算しないということです。

問題
１，４，１１，２２，３７，５６・・・の一般項を求めよ

解答
ｂn＝ａn+1−ａn　とおくと
ｂn＝３，７，１１，１５，１９　という等差数列になっています。

ｂ1＝３
ｄ ＝４　　なので

ｂn＝４ｎ−１

ａn＝１＋�狽Ｌ
　 ＝１　＋　ｎ(ｎ−１)　−　１(ｎ−１)
　　　　　 　　 　２

　 ＝ｎ2　−３ｎ　＋　２
　 　２　　 ２

漸化式

今まで、数列は、ａ_n＝n²+n+3のように与えられたので
n=3などと代入すると、ａ₃＝15のようにすぐにわかりました。

しかし、ａ_n+1＝3ａ_n+1　のようにそれ以前の項を用いて表したときに
この数列を「漸化式」といいます。

漸化式は、いずれも簡単な数列に持っていくことで解くことができます。
この数列への置き換え方法にはパターンがあるので、それらを覚えるといいと思います。
おここでは、基本的なパターンを紹介します。

◆ａ_n+1＝ａ_n＋３

ａ_n+1、ａ_nの係数が１であるパターンです。
これは、公差３の等差数列なので、すぐに解くことができます。

◆ａ_n+1＝2ａ_n+3

漸化式でもっとも一般的な式です。
この場合、xの２次方程式のようにして解く方法があります。

ａ_n+1-2ａ_n-3 = 0
x²-2x-3=0　x=-1,3

ここでは、x=3を用いて、b_n=a_n+3というようにb_nを定義します。
すると、ａ_n+1-2ａ_n-3 = 0の式がb_n+1-2b_n=0の式へ変わります。
これは、等比数列なのでb_nを求めることができます。
b_nがわかればa_nがわかります。

◆ａ_n+1＝2ａ_n+n-1

数列以外に、変数nを含んでいるパターンです。
この場合は、階差数列b_n=ａ_n+1-ａ_nを定義します。
そして、nの値を1つだけずらして差をとります。

(ａ_n+1-ａ_n)=2(ａ_n-ａ_n-1)+1
b_n=2b_n+1

このあとの解き方は、上のパターンと々です。

数学的帰納法

数学の証明には、従来は演繹法という証明方法を用いてきました。
これは、順番に条件などを求め、最終的な定理を求めるという方法でした。

しかし、帰納法では順序が逆になります。
最初に証明すべき定理が正しいとし、それを使用しても矛盾がなければ
正しかったとする方法です。

以下に、数学的帰納法を示します。

これは、[1]でn=1という最初の状態で式が成り立っていることを示し
[2]、[3]でn=kのときに成り立っていると、一つ上のn=k+1でも成り立つことを示します。

すると、n=1で成り立ち、一つ上のn=2でも成立、n=3でもn=4でも・・・
という具合にすべての自然数で成り立つことになります。

問題
1+2+2²+・・・2^n-1=2ⁿ-1　を証明せよ

解答
[1]　n=1のとき、2⁰=2¹-1　が成り立つ

[2]　n=kのとき1+2+2²+・・・2^k-1=2^k-1が成り立つとすると

[3]　n=k+1のとき、

(左辺)＝1+2+2²+・・・2^k-1+2^k
(右辺)＝2^k+1-1＝2^k+2^k-1
いずれも、両辺に2^kが加算されているので
n=k+1のときでも等式が成立する。

よって、1+2+2²+・・・2^n-1=2ⁿ-1が成り立つ

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内分

線分ＡＢを１：２に内分する点Ｐがある時図の位置にＰがあります。

A-----------P--------------------------B
     1                   2

一般にＡ(x1,y1)とＢ(x2,y2)がＰによってｍ：ｎに内分されるとき
Ｐのｘ（ｙ）座標は次のようになります。

Ｘ＝ｎｘ1　＋　ｍｘ2
　　　 ｍ　＋　ｎ

Ｙ＝ｎｙ1　＋　ｍｙ2
　　　 ｍ　＋　ｎ

問題
Ａ(−２，５)　Ｂ(４，−１)があるとき、
２：１に内分する点の座標を求めよ

解答
Ｘ＝２・４＋１・(−２)
　　　２　＋　１

　＝２

Ｙ＝２・(−１)＋１・５
　　　　　２　＋　１

　＝１

よって、（２，１）

外分

内分は点Ｐが線分ＡＢ内にある場合のことなのですが
外分は線分ＡＢの外にある場合のことです。

外分点を求めるときは、先ほどの公式を利用します。
「ｍ：ｎに外分」というときはどちらか一方の符号を反転することで
対応できます。

問題
Ａ(−２，５)　Ｂ(４，−１)があるとき、２：１に外分する点の座標を求めよ

解答
２：１に外分とは、２：−１に内分ということなので

Ｘ＝２・４−１・(−２)
　　　２　−　１

　＝１０

Ｙ＝２・(−１)−１・５
　　　　　２　−　１

　＝−７

よって、（１０，−７）

メネラウスの定理

右図のような狐のような三角形では
「メネラウスの定理」を利用することができます。 メネラウスの定理は三角形の比をもとめるときに非常に便利です。

ａ　ｃ　ｅ　＝　１
ｂ　ｄ　ｆ

この比のとりかたは少し複雑なので注意してください。

チェバの定理

チェバの定理はメネラウスの定理を拡張したものです。
右図のような対称的な三角形に利用します。
公式自身は変わりませんが、比のとりかたが
先ほどと変わり、きれいな形をしています。

ａ　ｃ　ｅ　＝　１
ｂ　ｄ　ｆ

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