数２分野の微分積分は数３のページに載っています。

距離

直線ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０と座標(ｘ，ｙ)との距離は次のようになります。

｜ａｘ＋ｂｙ＋ｃ｜
　　(ａ2＋ｂ2)1/2

円と直線

円と直線の方程式は一般には次のように求まります。

(ｘ−ｐ)2＋(ｙ−ｑ)2＝ｒ2

ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０

最初の円の式は、座標（ｐ，ｑ）を中心とする半径ｒの円の方程式です。
２番目の方程式は中学校時代にｙ＝ａｘ＋ｂをより一般にしたものです。
これによってｘ＝５のような直線も表せるようになりました。

円の接線

ｘ²＋ｙ²＝ｒ²　の円上の座標（ｘ１，ｙ１）を
通る接線の式は次のようになります。

ｘ1ｘ＋ｙ1ｙ＝ｒ2

円と直線が接しているか交わっているのはということは
円の方程式と直線の方程式を連立させて一つの式にします。
そこで判別式を利用すればいいわけです。
Ｄ＝０ならば接していて、Ｄ＜０ならば交わりません。
Ｄ＞０では２点で交わります。

領域

今まで、ｙ＝ｆ（ｘ）の形では、ある一点を決めていました。
領域は、ｙ＜ｆ（ｘ）のように不等号で表します。
たとえば、ｙ＜ｘ＋２では、ｙ＝ｘ＋２より下側(ｙ軸の負の方向)全体が領域になります。
領域では、複数の条件を課すことが可能で

ｙ＜ｘ＋２
ｘ＞０
ｙ＞０

という条件があると(0,0),(2,0),(0,2)を通る直角三角形が領域となります。

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ラジアン

今まで、角度を表すのには度数法を用いてきました。
すると、１周は３６０度になります。
しかし、別のもっと便利な表現方法があります。それがラジアンです。
度数法では「°」という単位がいたのですが、ラジアンではありません。
ラジアンでは、１周が２πになります。
度数法とラジアンには以下の関係があります。

１°＝　π　
　　　１８０

ラジアンを用いることで次のようなものが簡単に求まります。 右図の円周ｌは

ｌ＝ｒθ　　　　ｌ：円周
Ｓ＝１ｒ2θ 　　Ｓ：面積
　　２

グラフ

ｙ＝ｓｉｎθ　のグラフは上図のようになります。
ｙ＝ｃｏｓθ　は　ｙ＝ｓｉｎ(θ　＋　π／２)に変形できるので
ｙ＝ｓｉｎθ　のグラフをθ方向に−π／２だけ移動したものになります。

ｙ＝Ａｓｉｎθ　のグラフは　ｙ＝ｓｉｎθをｙ軸方向にＡ倍したものになります。
ｙ＝ｓｉｎ(Ａθ)　はｙ＝ｓｉｎθをθ方向に対して１／Ａ倍したものになります。

問題
ｙ＝２ｃｏｓ(２θ　＋　π／２)　のグラフをかけ


解答


２ｃｏｓ(２θ　＋　π／２)　＝　−２ｓｉｎ２θ

これは、ｓｉｎθのグラフを上下反転させ、２倍したものを
θ方向に１／２倍したものなので以上のようになりました。

加法定理

以下の公式は非常に重要な公式で、加法定理といわれています。

ｓｉｎ(α＋β)＝ｓｉｎα ｃｏｓβ　＋　ｃｏｓα ｓｉｎβ
ｓｉｎ(α−β)＝ｓｉｎα ｃｏｓβ　−　ｃｏｓα ｓｉｎβ

ｃｏｓ(α＋β)＝ｃｏｓα ｃｏｓβ　−　ｓｉｎα ｓｉｎβ
ｃｏｓ(α−β)＝ｃｏｓα ｃｏｓβ　＋　ｓｉｎα ｓｉｎβ

また、これらを用いることによってｔａｎ(α±β)も求まります。

ｔａｎ(α＋β)＝　ｔａｎα　＋　ｔａｎβ 
　　　　　　　　１　−　ｔａｎα ｔａｎβ

ｔａｎ(α−β)＝　ｔａｎα　−　ｔａｎβ 
　　　　　　　　１　＋　ｔａｎα ｔａｎβ

●２倍角の公式

加法定理でα＝βとすることによって２倍角の公式が得られます。

ｓｉｎ(２α)＝２ｓｉｎα ｃｏｓα

ｃｏｓ(２α)＝ｃｏｓ2α　−　ｓｉｎ2α

　　　　　　＝１　−　２ｓｉｎ2α

　　　　　　＝２ｃｏｓ2α　−　１

●半角の公式

２倍角の公式を逆に利用すれば半角の公式が求まります。

ｓｉｎ2(α/2)　＝　１　−　ｃｏｓα
　　　　　　　　　　　　２

ｃｏｓ2(α/2)　＝　１　＋　ｃｏｓα
　　　　　　　　　　　　２

和積変換公式

加法定理を使って三角関数の積を和に変換することができます。
また、反対に和を積に変換することもできます。

●和→積

ｓｉｎαｃｏｓβ＝１｛ｓｉｎ(α＋β)　＋　ｓｉｎ(α−β)｝
　　　　　　　　　２

ｃｏｓαｓｉｎβ＝１｛ｓｉｎ(α＋β)　−　ｓｉｎ(α−β)｝
　　　　　　　　　２

ｃｏｓαｃｏｓβ＝１｛ｃｏｓ(α＋β)　＋　ｃｏｓ(α−β)｝
　　　　　　　　　２

ｓｉｎαｓｉｎβ＝−１｛ｃｏｓ(α＋β)　−　ｃｏｓ(α−β)｝
　　　　　　　　　　２

●積→和

ｓｉｎＡ　＋　ｓｉｎＢ　＝　２　ｓｉｎ／Ａ＋Ｂ＼ ｃｏｓ／Ａ−Ｂ＼
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＼　２　／ 　　　＼　２　／

ｓｉｎＡ　−　ｓｉｎＢ　＝　２　ｃｏｓ／Ａ＋Ｂ＼ ｓｉｎ／Ａ−Ｂ＼
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＼　２　／ 　　　＼　２　／

ｃｏｓＡ　＋　ｃｏｓＢ　＝　２　ｃｏｓ／Ａ＋Ｂ＼ ｃｏｓ／Ａ−Ｂ＼
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＼　２　／ 　　　＼　２　／

ｃｏｓＡ　−　ｃｏｓＢ　＝−２　ｓｉｎ／Ａ＋Ｂ＼ ｓｉｎ／Ａ−Ｂ＼
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＼　２　／ 　　　＼　２　／

三角関数の合成

ｓｉｎθとｃｏｓθの和をまとめることができます。

Ａｓｉｎθ　＋　Ｂｃｏｓθ　＝　(Ａ2＋Ｂ2)1/2　ｓｉｎ(θ＋α)

ただし、
ｃｏｓα＝　　Ａ　　　
　　　　　(Ａ2＋Ｂ2)1/2

ｓｉｎα＝　　Ｂ　　　
　　　　　(Ａ2＋Ｂ2)1/2

問題

√３ｓｉｎθ　−　ｃｏｓθ　を簡単にせよ

解答
Ａ2＋Ｂ2＝Ｘ　とすると

Ａ＝√３　　Ｂ＝−１　より　Ｘ＝２

ｃｏｓα＝√３　　　ｓｉｎα＝−１
　　　　　　２　　　　　　　　　２

α＝−π／６

よって(予式)＝２ｓｉｎ(θ−π/6)

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累乗根

累乗根はルートの前に小さな数字がついています。
これは、指数と次のような関係があります。

(n√ａ)m　＝ａm/n

問題
3√250　　を簡単にせよ
3√２

解答
　(250)1/3　×　２-1/3

＝２1/3　×　５　×　２-1/3

＝５

指数関数

指数関数は一般に次のようにかきます。

ｙ＝ａx

このとき、グラフは次のようになります。
ｙ軸上では１を通り、ｘの負の方向ではｘ軸への漸近線になります。
ｘ＝１ではｙはａになります。(右図ではａ＝２なので(1,2)を通る)
ただし、ａ＞０である必要があります。

ｙ＝ａ-x

このときは指数のグラフはｙ軸対象になります。

ｙ＝ａbx

このときは、ａ^xをｘ軸の方向に１／ｂ倍したものになります。

問題１
２x＜８　を解け

解答１
２x＜２3

２＞１なので指数部分を単純に比較でき

ｘ＜３


問題２
／１＼2x　＞  １ 　　　　を解け
＼３／　　　 ８１

解答２
／１＼2x　＞ ／１＼4
＼３／　　　 ＼３／

1/3＜１　なので不等号を入れ替えて

２ｘ＜４
　ｘ＜２

対数

２x＝３

という関係があるとき

ｘ＝ｌｏｇ2３

と書き直せます。このｌｏｇというのが対数です。一般には

Ｒ＝ａr　　　←→　　ｒ＝ｌｏｇaＲ

ただし、ａ＞０　Ｒ＞０　ａ≠１　という条件があります。
このとき、Ｒを「真数」、aを「底」といいます。

ｌｏｇには次の性質があります。

ｌｏｇaＲＳ＝ｌｏｇaＲ　＋　ｌｏｇaＳ

ｌｏｇaＲ／Ｓ＝ｌｏｇaＲ　−　ｌｏｇaＳ

ｌｏｇaＲp＝ｐｌｏｇaＲ

ｌｏｇa１＝０

ｌｏｇaａ＝１

問題
ｌｏｇ5７５−ｌｏｇ5１５　　を計算せよ

解答
(予式)＝ｌｏｇ5７５／１５
　　　＝ｌｏｇ5５
　　　＝１

底の数は「底の変換公式」によって変えることができます。

ｌｏｇaＲ＝ｌｏｇbＲ
　　　　　 ｌｏｇbａ

対数関数

対数関数は指数関数をｙ＝ｘで対象にしたような形をしています。
ｙ＝ｌｏｇ_aｘ　があったとき、ｘはｘ＞０という制約を受けます。
ｘ＝１ではｙ＝０になり、ｘ＝ａではｙ＝１になります。

問題
２30　の桁を求めよ

解答
ｌｏｇ10 ２30
＝３０ｌｏｇ10 ２
＝３０×0.3010＝９．０３０

９＜ｌｏｇ10 ２30＜１０
１０9＜２30＜１０10

よって２30は１０桁になります。

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