| １，複素数 | ガウス平面 恒等式 有理化 |
| ２，ベクトル | 内積 位置ベクトル |
数学には複素数というものがあります。
複素数は実数や虚数を含めたものです。そして、虚数単位ｉを
ｉ2＝−１
とします。
問題１ (２＋３ｉ)(３−２ｉ) を計算せよ 解答１ ６−４ｉ＋９ｉ±＋６ ＝ １２＋５ｉ 問題２ ｘ3−１＝０ を複素数の範囲で解け 解答２ ｘ3−１＝(ｘ−１)(ｘ2＋ｘ＋１)＝０ １番目の数数からｘ＝１ ２番目の因数からｘ＝−１±√(−３) ２ ＝−１±ｉ√３ ２ よってｘ＝１，−１±ｉ√３ ２
複素数ａ＋ｂｉに対してａ−ｂｉを「共役な複素数」といいます。
座標で、ｘ成分を実数、ｙ成分を虚数にしたものを「ガウス平面」といいます。
実数をＲｅ、虚数をＩｍを略することもあります。
いま、ガウス平面に１＋２ｉという点を黄色でとりました。
これを原点の周りに９０度回転させるにはｉをかければよく、
−２＋ｉになります。
虚数と実数はそれぞれ独立して計算します。 これは恒等式ににています。
問題 ３ｘ＋(２ｘ−３ｙ)ｉ＝６＋ｉ からｘ，ｙを求めよ 解答 実数部分と虚数部分に分けて計算すると 実数：３ｘ＝６ 虚数：２ｘ−３ｙ＝１ よって、ｘ＝２,ｙ＝１
平方根のときと同様に分数の分母には虚数が存在しないようにしなければなりません。
分母が、純虚数の場合と複素数一般の場合とでは変わってきます。
ａ＋ｂｉ ＝ (ａ＋ｂｉ)ｉ ＝ｂ−ａｉ ｃｉ −ｃ ｃ ａ＋ｂｉ ＝ (ａ＋ｂｉ)(ｃ−ｄｉ) ＝ (ａｃ＋ｂｄ)＋(ｂｃ−ａｄ)ｉ ｃ＋ｄｉ (ｃ＋ｄｉ)(ｃ−ｄｉ) ｃ2＋ｄ2
今までの数(スカラー)というのは大きさだけを表してきました。
ベクトルというのはこれに方向を加えたものです。
たとえば、「南大沢駅から５００ｍ」というのはスカラーの表現、
「南大沢駅から北に５００ｍ」というのがベクトル的な表現です。
ベクトルは以下のように矢印で表します。
→ ａ
ベクトルには以下のような性質があります。
→ → ｈ(ｋａ) ＝ ｋ(ｈａ) → → → (ｈ＋ｋ)ａ ＝ ｈａ ＋ ｋａ → → → → ｈ(ａ＋ｂ)＝ｈａ＋ｈｂ
ベクトルの成分は２個、３個と自由に決めることができます。
平面座標上では２個扱うことになります。以下の例を示します。
→ ａ ＝ （２，３）
問題 → → ａ＝（１，−２） ｂ＝（−１，−３） のとき → → ３ａ−２ｂ を求めよ 解答 ３(１，−２)−２(−１，−３) ＝（５，０）
このように、ベクトルは座標のような振る舞いをします。
２次元座標上ではすべてのベクトルは１次独立なベクトルａ，ｂを使って
表すことができます。
１次独立なベクトルは２つあり、それぞれが０ベクトルでなく
お互いに平行でもないベクトルのことです。
問題 → → ａ＝（１，２） ｂ＝（１，−１） のとき → → （５，４）をベクトルａ，ｂを使って表せ。 解答 （５，４）＝ｈ（１，２） ＋ ｋ（１，−１）とすると ５＝ ｈ ＋ ｋ ４＝２ｈ − ｋ これよりｈ＝３ ｋ＝２
→ → ａ・ｂ
とかいて、これを「内積」といいます。 内積は次のような関係があります。
→ → → → ａ・ｂ ＝ ｜ａ｜｜ｂ｜ｃｏｓθ
ここで、θはベクトルａとｂのなす角度のことです。
また、ａ，ｂの成分が
→ ａ＝（ａ1，ａ2） → ｂ＝（ｂ1，ｂ2）
とわかっている場合、次のようにない積が求まります。
→ → ａ・ｂ ＝ａ1ｂ1＋ａ2ｂ2
以下、ベクトルの→は省略します。
問題１ ａ＝(１，√３) ｂ＝(−√３，−１) のなす角度を求めよ 解答１ ａ・ｂ ＝ −√３−√３ ＝ −２√３ ｜ａ｜＝２ ｜ｂ｜＝２ ｃｏｓθ＝ ａ・ｂ ＝−２√３＝−√３ ｜ａ｜｜ｂ｜ ４ ２ θ＝１５０ 問題２ ｜ａ｜＝３ ｂ＝｜２｜ θ＝６０° のとき ｜ａ−ｂ｜を求めよ 解答２ ｜ａ−ｂ｜2＝ａ2−２ａ・ｂ＋ｂ2 ＝９−２（３・２・cos60°）＋４ ＝７ ｜ａ−ｂ｜＝√７
平面に任意の点Ａがあるとき、位置ベクトルを使って位置を表すことができます。
たとえばＡの座標が（２，３）のとき、ベクトルＯＡ＝（２，３）といった具合です。
ただし、Ｏは原点（０，０）のことです。ベクトルは
→ ＡＢ
で点Ａから点Ｂへのベクトルになります。
これを任意の点Ｃを使って
→ → → ＡＢ ＝ ＣＢ−ＣＡ
と、書き直すことができます。
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