| １，数２の微分 | 極限 微分 接線 極大・極小 最大・最小 |
| ２，数２の積分 | 面積 体積 |
| ３，微分 | 数列の極限 関数の極限 微分 さまざまな関数 内外の微分 |
| ４，積分 | さまざまな関数 置換積分 部分積分 |
ｌｉｍ ｘ x→a
これは、ｘを無限にａに近づけるという数学記号です。
分数などで、分子、分母が共に０になると解が不定になってしまうので
因数分解などの工夫をする必要があります。
問題 ｌｉｍ ２ｘ2－５ｘ＋２ x→2 ｘ2－４ 解答 ｌｉｍ (２ｘ－１)(ｘ－２) ＝２ｘ－１ x→2 (ｘ＋２)(ｘ－２) ｘ＋２ ＝３／４
関数ｆ(ｘ)の微分をｆ’(ｘ)で表します。
ｆ’(ｘ)はｆ(ｘ)のグラフの傾きを表しています。
ｆ’(２)＝３ はｘ＝２での傾きが３であるということです。
微分は次のようにやります。
(ｘn)’ ＝ｎｘn-1
ただし、ｎは有理数です。 また、微分には次の基本的性質があります。
ｙ＝ｋｆ(ｘ) ｙ’＝ｋｆ’(ｘ) ｙ＝ｆ(ｘ)＋ｆ(ｘ) ｙ’＝ｆ’(ｘ) ＋ ｇ’(ｘ)
これを微分の線形性といいます。
問題 ｙ＝５ｘ3 ＋ ２ｘ2 ＋ ８ を微分せよ 解答 ｙ’＝１５ｘ2 ＋ ４ｘ
微分を使えば簡単に接線の式を求められます。
問題 ｆ(ｘ)＝ｘ2 －２ｘ ＋ １ の（２，１）における接線を求めよ 解答 ｆ’(ｘ)＝２ｘ－２ ｆ’(２)＝２ ｙ－１＝２(ｘ－２) ｙ＝２ｘ－３
極大・極小は、最大・最小と異なり、部分的に大きい(小さい)部分を
意味してます。
ｆ(ｘ)の極大・極小の部分では、ｆ’(ｘ)＝０ になっています。
つまり、極地では、グラフが平らになっているわけです。
それを元に増減表を作ってみるとグラフの概形がわかります。
問題 ｆ(ｘ)＝ｘ3＋３ｘ2－２ の概形をかけ 解答 ｆ’(ｘ)＝３ｘ2＋６ｘ ｆ’(ｘ)＝０ のとき ｘ＝０，－２
| ｘ | ・・ | －２ | ・・ | ０ | ・・ |
| ｆ’(ｘ) | ０ | ０ | |||
| ｆ(ｘ) | ／ | ２ | ＼ | －２ | ／ |
これから以下のような概形がかけます。
ｘの定義域を決めることによって最大値、最小値を求めることができます。
問題 ｆ(ｘ)＝２ｘ3－３ｘ2－１２ｘ (－２≦ｘ≦４) の最大値、最小値とそのときのｘを求めよ 解答 ｆ’(ｘ)＝６ｘ2－６ｘ－１２ ｆ’(ｘ)＝０ のとき ｘ＝－１，２
| ｘ | －２ | ・・ | －１ | ・・ | ２ | ・・ | ４ |
| ｆ’(ｘ) | ＋ | ０ | － | ０ | ＋ | ||
| ｆ(ｘ) | －４ | ／ | ７ | ＼ | －２０ | ／ | ３２ |
グラフの概形は右図のようになります。これから 最大値はｘ＝４のときのｆ(４)＝３２ 最小値はｘ＝２のときのｆ(２)＝－２０
数学的な計算上では、積分は微分の反対です。 ｆ(ｘ)を２～４まで積分したとき、∫ｆ(ｘ)は２～４までの面積を表しています。 ｘ軸の下の方では、面積はマイナスになります。
∫ｘnｄｘ ＝ ｘn+1 n+1
積分も微分と同じような線形性があるので定数を外に出したり、 多項式になっているときは個々に計算できます。
微分する範囲の決まっているものを「定積分」
決まっていないものを「不定積分」といいます。
問題 ∫23 ｘ（ｘ3－２ｘ）ｄｘ を解け 解答 (予式)＝／ｘ4 ｘ2＼3 ＼４ ／2 ＝６５／４ － ５ ＝４５／４
定積分には次のような性質があります。
∫aa ｆ(ｘ)ｄｘ＝０ ∫ab ｆ(ｘ)ｄｘ＝－∫ba ｆ(ｘ)ｄｘ ∫aa ｆ(ｘ)ｄｘ＝∫ac ｆ(ｘ)ｄｘ＋∫cb ｆ(ｘ)ｄｘ
問題 右図でｙ＝ｘ2 とｙ＝４ で囲まれた部分の面積を求めよ 解答 ｙ＝４ が ｙ＝ｘ2 より上の方にあるので Ｓ＝∫-22 ４－ｘ2ｄｘ ＝［４ｘ － ｘ3／３］-22 ＝２／８－８＼ ＝３２ ＼ ３／ ３
問題 右図でｙ＝ｘ2 とｙ＝４ で囲まれた部分をｙ軸について 回転させたときの体積を求めよ 解答 この立体はｙ軸方向に厚さｄｙの円盤が重なっていると考えられます。 円盤の半径は√ｙ 面積はπｙなので Ｖ＝∫04 πｙｄｙ ＝π［ｙ2／２］04 ＝８π
数列ａnで ｎ→∞での振る舞いは大きく３つに分かれます。
・収束 lim(n→∞) ａn＝Ａ (定数) ・発散 ・lim(n→∞) ａn＝－∞ or ∞ ・振動する
問題 ａn＝２ｎ＋１ のとき ３ｎ－２ lim ａn を求めよ 解答 lim ａn＝２＋1/n ３－2/n ＝２／３
ｙ＝１／ｘ
この関数の極限 lim x→0 は＋∞か－∞になります。 このとき、＋方向から０に近づいた場合と－方向からの場合とで変わってきます。 そこで、＋方向から近づいた場合は
lim(x→+0) １／ｘ ＝＋∞
－方向からの場合を
lim(x→-0) １／ｘ ＝－∞
と表します。
指数関数の場合は
lim(x→∞) ａx ＝＋∞ (ａ＞１) ＝１ (ａ＝１) ＝０ (－１＜ａ＜１) ＝±１(振動)(ａ＝－１) ＝±∞(発散振動)(ａ＜－１)
です。ａの値によって変わってきます。 また、ｓｉｎ，ｃｏｓ，ｔａｎは、常に振動しているので極値は存在しません。 ただ、次のような極値は存在します。
ｌｉｍ(x→0) ｓｉｎｘ ＝１ ｘ ｌｉｍ(x→0) ｔａｎｘ ＝１ ｘ
問題 ｌｉｍ(x→0) ｓｉｎ３ｘ の極値を求めよ ｓｉｎ５ｘ 解答 ｓｉｎ３ｘ ＝ｓｉｎ３ｘ ５ｘ ３ ｓｉｎ５ｘ ３ｘ ｓｉｎ５ｘ ５ ｌｉｍ(x→0) ｓｉｎ３ｘ ＝３／５ ｓｉｎ５ｘ
数２では取り上げなかった微分の公式があります。 それは、ｘの関数の積になっているものを微分する場合です。
｛ｆ(ｘ)ｇ(ｘ)｝'＝ｆ(ｘ)'ｇ(ｘ) ＋ ｆ(ｘ)ｇ(ｘ)' ／ｆ(ｘ)＼'＝ｆ'(ｘ)ｇ(ｘ)－ｆ(ｘ)ｇ(ｘ)' ＼ｇ(ｘ)／ ｛ｇ(ｘ)｝2
三角関数の微分は重要です。
(ｓｉｎｘ)' ＝ ｃｏｓｘ (ｃｏｓｘ)' ＝－ｓｉｎｘ (ｔａｎｘ)' ＝ １ ｃｏｓ2ｘ
指数関数の微分は最も重要な微分です。
(ａx)'＝ｌｏｇａ ａx (ｅx)'＝ｅx
ｅは自然対数といわれ、微分しても関数の形が変わりません。 物理では、最重要な公式です。ｅ＝２．７１８・・・程度の値です。 対数の微分は次のようになります。
(ｌｏｇｘ)’＝１ ｘ
問題 ｘｓｉｎｘ を微分せよ 解答 (ｘｓｉｎｘ)’＝ｓｉｎｘ ＋ ｘｃｏｓｘ
ｓｉｎａｘを微分するとき、ｔ＝ａｘと置き換えをします。 ｓｉｎｔの微分はｃｏｓｔになります。（外の微分） 次に、ｔをｘで微分します。（内の微分） それらを掛け合わせると
(ｓｉｎａｘ)’＝ａ ｓｉｎａｘ
問題１ ｓｉｎ３ｘ をｘで微分せよ 解答１ 外の微分はｃｏｓ３ｘ 内の微分は３ よって３ ｃｏｓ３ｘ 問題２ ｌｏｇ３ｘ を微分せよ 解答２ 外の微分は１／ｘ 内の微分は３ よって３／ｘ
積分は微分の逆の計算をします。
∫ｓｉｎｄｘ＝－ｃｏｓｘ ∫ｃｏｓｄｘ＝ ｓｉｎｘ
∫ａxｄｘ ＝ ａx ｌｏｇａ ∫ｅxｄｘ ＝ ｅx
これは、「内の積分・外の積分」といわれるものです。 つまり、変数の置き換えをするわけです。
∫ｆ(ｘ)ｄｘ＝∫ｆ(ｔ) ｄｘ ｄｔ ｄｔ
問題 ｓｉｎ３ｘ を積分せよ 解答 ｔ＝３ｘ とすると ｄｔ＝３ｄｘ ∫ｓｉｎｔ １ ｄｔ ３ ＝ｃｏｓ３ｘ ３
関数ｆ(ｘ)ｇ(ｙ)の積を積分することを考えます。 ｆ(ｘ)を積分した形をＦ(ｘ)、ｇ(ｘ)を微分した形をｇ’(ｘ)とすると
∫ｆ(x)ｇ(x) ｄｘ ＝Ｆｇ－∫Ｆ(x)ｇ’(x) ｄｘ
問題 ｘｅx を積分せよ 解答 先ほどの公式で ｆ(x)＝ｅx ｇ(x)＝ｘ とすると ∫ｘｅx ｄｘ ＝ｘｅx－∫１・ｅx ｄｘ ＝(ｘ－１)ｅx
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