1,静電場 | 電磁気の基本的な諸公式 コンデンサー ガウスの定理 |
2,導体 | 導体 双極子 鏡像法 |
3,誘導体 | 誘導体 屈折 |
4,電流 | オームの法則 定常電流 準定常電流 |
次のものは電磁気で暗黙の領域といわれていることです。
E[V/m]は電場 φ[V]は電位をあらわします。
高校時代に使った電気的な係数kは使いません。kは次のように
表されます。
k= 1 εo:真空中の誘電率 4πεo
まず、高校時代の公式を復習します。
F= 1 qQ q,Q:電荷 4πεo r2 F=qE q:電荷 E:電界 U=1CV2=1Q2=1QV U:エネルギー 2 2C 2 C:コンデンサーの容量
それでは、大学の基本的な公式を紹介します。
刄モ=−∫Eds
これは、力学で学習した「ポテンシャル」の式とそっくりです。
これは、強さEの電場をdsだけすんだときの電位の変化の式です。
マイナス符号に注意してください。
点電荷は、体積を持たない点のような電荷です。
φ= Q E= Q 4πεor 4πεor2
無限に伸びている導体の線上に一様に分布している電荷です。
1m中に帯電している電荷をρとします。
E= ρ ρ:電荷の線密度 2πεor r:線からの距離
これをrで積分すればφに関する式になります。
無限に広がっている導体の面上に一様に分布している電荷です。
1u中に帯電している電荷をσとします。
(1)電場が面の両方から生じている場合 E=Q εo (2)電場が面の片側から生じている場合(コンデンサーなど) E= Q 2εo
コンデンサーは内部にのみ電場があり、外側にはありません。
これは、2つの板の電荷によって打ち消しあうためです。
コンデンサーは、
C=Q V
で定義されます。
これを少し応用すると、次の式ができます
(1)平面同士が向かい合っている場合
C=εoS S:重なっている部分の面積 d d:距離
コンデンサーがこれにあたります。
(2)単独で球が存在する場合(中は空洞でもいい)
C=4πεoa a:球の半径
このようになります。
数学でもやると思うのですが、次の公式を覚えてください。
左辺がある物体の表面の微少面積を積分した式です。
a dSは、任意のベクトルaと法線ベクトルの内積です。
右辺がある物体の内部についての発散を調べたものです。
∇・a が発散についての式で dv が微少体積を表します。
問題 半径aoの球の内部にqoの電荷がある。 球の表面の電界をEoとしてガウスの式を完成せよ。 解答 ガウスの式の左辺は、∬ a dS = ∬ E dS = 4πr2 E 右辺は、∫∬ ∇・a dV = qo よって、4πr2 E = qo
ガウスの定理を少し変形させると次の式ができます。
∬ E・dS = q E:電界 q:電荷
これは電荷の場合、a
は、電界Eとすると、ガウスの定理の
右辺の積分結果は電荷になるためです。
問題 中心にqの電荷がある半径rの球の表面の電界をもとめよ 解答 球の表面はどこも一定の電界なので ∬E・dS=4πr2E = q なので E= q 4πr2E
導体の表面上の特徴は、
2は、もし、等電位面が水平になっていないと、何もない導体上を
電流が流れだしてしまうのでおかしいことになります。
よって、3のように導体内に電界も存在しません。
これは、針が電位φを持っていて針の先を半径Rの円と近似すると
E=φ E:電界 R
ここでもとまったEは針の先端部の電界です。
これから、針か尖っているほど(Rが小さいほど)電界が大きくなり
放電しやすくなります。
だから避雷針は尖っていないといけません。
電界中に金属球を置くと周辺の電界が影響します。
どのように影響するかというと、先ほどの
金属の特徴を満たすような変化が起きます。
つまり、等電位面は球に対して平行になっています。
(交わることはない)
これは球の中に仮想の双極子があると仮定し
球の表面上がどこも一定になるように
双極子の大きさを調整すれば計算できます。
右の図を見てください。赤い線が球表面に相当します。
球の内部には後で説明する双極子の形になっています。
外側は本来縦に走っている等電位面が
広げられているのがよくわかります。
※中央を縦に通る線は不安定な線で
実際にはまっすぐになることはありません。
コンデンサー中では電気力線は縦になっています。
そのとき、縦方向には縮もうとする力が働き、
横方向には広がろうとする力が働きます。
これらをマクスウェル応力といいます。
詳しくは電磁気学U(13KB)の「マクスウェル応力」をご覧ください。
双極子とは、符号の違う2つの電荷、q,−qが無限に近い状態をいいます。
ここで、双極子モーメントPを次のように定義します。
P=2lq l:二電荷の距離
これは、よく用います。
また、双極子の電位は
φ= pr r:双極子からの位置 4πεo r3 または、 φ= pcosθ r:双極子からの位置 4πεo r2 θ:pとrベクトルのなす角
Pベクトルの向きは負電荷から正電荷の向きになります。
右の図は、双極子の等電位面です。電荷は左右に並んで存在します。
双極子が電場中にあると回転します。その回転モーメントは
N=P×E
であらわせます。
真空中に電荷があり、平面上の導体によってどのように
なるかを考えるとき右図のように導体中に
仮想の電荷(水色の部分)を考えます。
仮想の電荷は、電荷が正反対で
位置は導体表面に対し線対称になっています。
このように仮想の電荷を導入すると導体表面は
対象性から電位が0,電気力線は垂直に交わるので
導体の条件をみたします。このように考えることを鏡像法といいます。
誘導体は導体の性質が弱くなったようなものです。その内部では誘電率が変化します。
今までの誘電率は真空中だったのでεoでしたが
誘電体の内部ではε(相対誘電率)とすると次の関係があります。
ε=εo(1+χe) χe:電気感受率
電気感受率は、外部電場に対しどれだけ誘電分極を起こすかという率です。
電場の中に誘電体を入れると内部では電気力線が弱まります。
これは、電場と反対の方に電気分極ができ、少し打ち消すからです。
電気分極はPであらわします。
P=χe εo E E:外部電場
なおPの向きは−から+です、そしてEの向きは+から−です。
向きが逆になっているので気をつけてください。
いろいろな物質のχeは次の通りです。
酸素 | 4.9×10-4 | 窒素 | 5.5×10-4 |
水 | 79.4 | ロシェル塩 | 4000 |
酸素や窒素などは電場をかけてもあまり変化がありません。
ロシェル塩などは電場をかけなくてもPが存在します。このようなものを強誘電体と言います。
電束密度Dは次のように定義されます。
D=εE=εo(1+χe)E=εoE+P
誘電体中での電磁的な現象は、真空中で用いた誘電率εoをεに変えるだけです。
誘電率の異なる物体に電場をかけたとき、電気力線は屈折します。
今、右図のように誘電率ε1とε2の誘電体(ε1>ε2)に電気力線が
入ったときの屈折の様子を示しています。
すると、以下の公式が成り立ちます。
E1 sinθ1 = E2 sinθ2 D1 cosθ1 = D2 cosθ2 tanθ2= ε2 tanθ1 ε1
つまりε1>ε2のとき、電束密度は図からもわかるように1の領域の方が
密集しているためD1>D2になります。また、電場の強さはE1<E2になります。
オームの法則は中学校でも習ったと思います。
V=RI
さて、Rは
R=ρl ρ:抵抗率 l:導体の長さ S S:導体の断面積
導体,半導体,絶縁体の抵抗率は以下の通りです。
銅 | 1.7×10-8 | ニクロム | 1.1×10-6 |
ケイ素 | 10-5〜104 | ガラス | 108〜1015 |
定常電流とは時間によらず一定である電流のことです。
これは、今までの高校時代の知識で解けると思います。
ここでは、一般化されたオームの法則を解説します。
E=ρi E:電界 ρ:比抵抗 i:電流
これは、電場の強さは比抵抗と電流に比例するということです。
準定常電流とは、交流と定常電流の中間のもので一時的に電流が変化するが、
ある値に収束する。
+-----------+ l l コンデンサー 抵抗 l l +-----------+
いま、上の回路で、コンデンサーにQの電荷を与えた後の変化を考える。
電流に関する方程式をたてると、
dQ= Q dt RC Q=A ept p=− 1 RC