| １，静電場 | 電磁気の基本的な諸公式 コンデンサー ガウスの定理 |
| ２，導体 | 導体 双極子 鏡像法 |
| ３，誘導体 | 誘導体 屈折 |
| ４，電流 | オームの法則 定常電流 準定常電流 |
次のものは電磁気で暗黙の領域といわれていることです。
Ｅ[V/m]は電場 φ[V]は電位をあらわします。
高校時代に使った電気的な係数ｋは使いません。ｋは次のように
表されます。
ｋ＝ １ εo：真空中の誘電率 ４πεo
まず、高校時代の公式を復習します。
Ｆ＝ １ ｑＱ ｑ，Ｑ：電荷 ４πεo ｒ2 Ｆ＝ｑＥ ｑ：電荷 Ｅ：電界 Ｕ＝１ＣＶ2＝１Ｑ2＝１ＱＶ Ｕ：エネルギー ２ ２Ｃ ２ Ｃ：コンデンサーの容量
それでは、大学の基本的な公式を紹介します。
⊿φ＝－∫Ｅｄｓ
これは、力学で学習した「ﾎﾟﾃﾝｼｬﾙ」の式とそっくりです。
これは、強さＥの電場をdsだけすんだときの電位の変化の式です。
マイナス符号に注意してください。
点電荷は、体積を持たない点のような電荷です。
φ＝ Ｑ Ｅ＝ Ｑ ４πεoｒ ４πεoｒ2
無限に伸びている導体の線上に一様に分布している電荷です。
１ｍ中に帯電している電荷をρとします。
Ｅ＝ ρ ρ：電荷の線密度 ２πεoｒ ｒ：線からの距離
これをｒで積分すればφに関する式になります。
無限に広がっている導体の面上に一様に分布している電荷です。
１㎡中に帯電している電荷をσとします。
（１）電場が面の両方から生じている場合 Ｅ＝Ｑ εo （２）電場が面の片側から生じている場合（コンデンサーなど） Ｅ＝ Ｑ ２εo
コンデンサーは内部にのみ電場があり、外側にはありません。
これは、２つの板の電荷によって打ち消しあうためです。
コンデンサーは、
Ｃ＝Ｑ Ｖ
で定義されます。
これを少し応用すると、次の式ができます
（１）平面同士が向かい合っている場合
Ｃ＝εoＳ Ｓ：重なっている部分の面積 ｄ ｄ：距離
コンデンサーがこれにあたります。
（２）単独で球が存在する場合（中は空洞でもいい）
Ｃ＝４πεoａ ａ：球の半径
このようになります。
数学でもやると思うのですが、次の公式を覚えてください。
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左辺がある物体の表面の微少面積を積分した式です。
a dSは、任意のﾍﾞｸﾄﾙaと法線ﾍﾞｸﾄﾙの内積です。
右辺がある物体の内部についての発散を調べたものです。
∇･a が発散についての式で dv が微少体積を表します。
問題 半径ａoの球の内部にｑoの電荷がある。 球の表面の電界をＥoとしてガウスの式を完成せよ。 解答 ガウスの式の左辺は、∬ a dS = ∬ E dS = ４πｒ2 Ｅ 右辺は、∫∬ ∇･a dV = ｑo よって、４πｒ2 Ｅ = ｑo
ガウスの定理を少し変形させると次の式ができます。
∬ Ｅ・ｄＳ = ｑ Ｅ：電界 ｑ：電荷
これは電荷の場合、ａ
は、電界Ｅとすると、ガウスの定理の
右辺の積分結果は電荷になるためです。
問題 中心にｑの電荷がある半径ｒの球の表面の電界をもとめよ 解答 球の表面はどこも一定の電界なので ∬Ｅ・ｄＳ＝４πｒ2Ｅ ＝ ｑ なので Ｅ＝ ｑ ４πｒ2Ｅ
導体の表面上の特徴は、
２は、もし、等電位面が水平になっていないと、何もない導体上を
電流が流れだしてしまうのでおかしいことになります。
よって、３のように導体内に電界も存在しません。
これは、針が電位φを持っていて針の先を半径Ｒの円と近似すると
Ｅ＝φ Ｅ：電界 Ｒ
ここでもとまったＥは針の先端部の電界です。
これから、針か尖っているほど（Ｒが小さいほど）電界が大きくなり
放電しやすくなります。
だから避雷針は尖っていないといけません。
電界中に金属球を置くと周辺の電界が影響します。
どのように影響するかというと、先ほどの
金属の特徴を満たすような変化が起きます。
つまり、等電位面は球に対して平行になっています。
（交わることはない）
これは球の中に仮想の双極子があると仮定し
球の表面上がどこも一定になるように
双極子の大きさを調整すれば計算できます。
右の図を見てください。赤い線が球表面に相当します。
球の内部には後で説明する双極子の形になっています。
外側は本来縦に走っている等電位面が
広げられているのがよくわかります。
※中央を縦に通る線は不安定な線で
実際にはまっすぐになることはありません。
コンデンサー中では電気力線は縦になっています。
そのとき、縦方向には縮もうとする力が働き、
横方向には広がろうとする力が働きます。
これらをマクスウェル応力といいます。
詳しくは電磁気学Ⅱ(13KB)の「マクスウェル応力」をご覧ください。
双極子とは、符号の違う２つの電荷、ｑ，－ｑが無限に近い状態をいいます。
ここで、双極子モーメントPを次のように定義します。
Ｐ＝２ｌｑ ｌ：二電荷の距離
これは、よく用います。
また、双極子の電位は
φ＝ ｐｒ ｒ：双極子からの位置 ４πεo ｒ3 または、 φ＝ ｐcosθ ｒ：双極子からの位置 ４πεo ｒ2 θ：ｐとｒﾍﾞｸﾄﾙのなす角
Pﾍﾞｸﾄﾙの向きは負電荷から正電荷の向きになります。
右の図は、双極子の等電位面です。電荷は左右に並んで存在します。
双極子が電場中にあると回転します。その回転モーメントは
Ｎ＝Ｐ×Ｅ
であらわせます。
真空中に電荷があり、平面上の導体によってどのように
なるかを考えるとき右図のように導体中に
仮想の電荷（水色の部分）を考えます。
仮想の電荷は、電荷が正反対で
位置は導体表面に対し線対称になっています。
このように仮想の電荷を導入すると導体表面は
対象性から電位が０，電気力線は垂直に交わるので
導体の条件をみたします。このように考えることを鏡像法といいます。
誘導体は導体の性質が弱くなったようなものです。その内部では誘電率が変化します。
今までの誘電率は真空中だったのでεoでしたが
誘電体の内部ではε（相対誘電率）とすると次の関係があります。
ε＝εo（１＋χe） χe：電気感受率
電気感受率は、外部電場に対しどれだけ誘電分極を起こすかという率です。
電場の中に誘電体を入れると内部では電気力線が弱まります。
これは、電場と反対の方に電気分極ができ、少し打ち消すからです。
電気分極はＰであらわします。
Ｐ＝χe εo Ｅ Ｅ：外部電場
なおＰの向きは－から＋です、そしてＥの向きは＋から－です。
向きが逆になっているので気をつけてください。
いろいろな物質のχeは次の通りです。
| 酸素 | 4.9×10-4 | 窒素 | 5.5×10-4 |
| 水 | 79.4 | ロシェル塩 | 4000 |
酸素や窒素などは電場をかけてもあまり変化がありません。
ロシェル塩などは電場をかけなくてもＰが存在します。このようなものを強誘電体と言います。
電束密度Ｄは次のように定義されます。
Ｄ＝εＥ＝εo（１＋χe）Ｅ＝εoＥ＋Ｐ
誘電体中での電磁的な現象は、真空中で用いた誘電率εoをεに変えるだけです。
誘電率の異なる物体に電場をかけたとき、電気力線は屈折します。
今、右図のように誘電率ε1とε2の誘電体（ε1＞ε2）に電気力線が
入ったときの屈折の様子を示しています。
すると、以下の公式が成り立ちます。
Ｅ1 ｓｉｎθ1 ＝ Ｅ2 ｓｉｎθ2 Ｄ1 ｃｏｓθ1 ＝ Ｄ2 ｃｏｓθ2 ｔａｎθ2＝ ε2 ｔａｎθ1 ε1
つまりε1＞ε2のとき、電束密度は図からもわかるように１の領域の方が
密集しているためＤ1＞Ｄ2になります。また、電場の強さはＥ1＜Ｅ2になります。
オームの法則は中学校でも習ったと思います。
Ｖ＝ＲＩ
さて、Ｒは
Ｒ＝ρｌ ρ：抵抗率 ｌ：導体の長さ Ｓ Ｓ：導体の断面積
導体，半導体，絶縁体の抵抗率は以下の通りです。
| 銅 | 1.7×10-8 | ニクロム | 1.1×10-6 |
| ケイ素 | 10-5～104 | ガラス | 108～1015 |
定常電流とは時間によらず一定である電流のことです。
これは、今までの高校時代の知識で解けると思います。
ここでは、一般化されたオームの法則を解説します。
Ｅ＝ρｉ Ｅ：電界 ρ：比抵抗 ｉ：電流
これは、電場の強さは比抵抗と電流に比例するということです。
準定常電流とは、交流と定常電流の中間のもので一時的に電流が変化するが、
ある値に収束する。
+-----------+ l l ｺﾝﾃﾞﾝｻｰ 抵抗 l l +-----------+
いま、上の回路で、ｺﾝﾃﾞﾝｻｰにＱの電荷を与えた後の変化を考える。
電流に関する方程式をたてると、
ｄＱ＝ Ｑ ｄｔ ＲＣ Ｑ＝Ａ ｅｐｔ ｐ＝－ １ ＲＣ
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