1,熱 | 状態密度 |
2,自由電子 | 井戸型ポテンシャル 状態密度 フェルミ分布 電子比熱 |
いま、格子振動について考えてみましょう。
波数qの取りうる状態の数は単位砲の数Nに等しくなります。
また、逆格子空間での波数qの最大の密度はNを逆格子の単位砲の
体積で割ることでもとまります。実際に計算すると
V (2π)3
になります。角速度ωでの間隔dωと、その体積中に含まれる
状態数の関係は次のようになります。
ここで、z(ω)は状態密度です。
具体的な例として、縦波の速度がCL、横波がCTの
弾性媒質については次のようになります。
固体中の自由電子の状態を考察するとき、「井戸型ポテンシャル」という
概念を用います。これは、固体中ではポテンシャルは常に一定で
固体の外では、ポテンシャルが無限大になっているというものです。
この簡単なモデルでも、固体物理学の多くの現象を説明することができます。
いま、一辺がLの立方体状の固体を考えます。
このときのポテンシャルは次のように定義します。
V(x,y,z)= 0 (0 ≦ x,y,z ≦ L) ∞ (上記以外)
イメージとしては、右図のように電子が固体内に完全に
閉じ込められています。固体内では、次のようなSch.eg.
(シュレディンガー方程式)と規格化条件が成り立ちます。
これらの条件から次のような波動関数と、エネルギーがわかります。
先ほどの式で、波数はπ/L間隔になっています。
これより、波数空間上で1つの状態が占める体積は
/π\3 \L/
となります。等エネルギー面は、波数空間上で半径がkになります。
これより、状態数Zは、
このD(E)を状態密度といいます。
粒子がエネルギーEを持つ確立は次のように定義することができます。
もし、T=0のときは、E>μでf=0、E<μでf=1です。
Tが有限のときは、フェルミ分布は次のようになだらかになります。
T=0において、f=0と1の境界のエネルギーはEFで表します。
これより、次のようなフェルミ波数、速度、温度がわかります。
詳細については、熱統計力学2をご覧ください。
金属の伝導電子に矩形井戸方ポテンシャルのモデルを適応することで
比熱の効果が簡単に説明できます。
電子をFermi気体と考えて、0[K]からT[K]まで熱したときの
エネルギーをU(T)とします。このときのU(T)は、
と、比熱がTに比例していることがわかります。
実際の比熱は、この電子比熱と格子振動によるものが合わされるので
Cv=γT + βT3
になります。